Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a p dg côsi \(a\sqrt{b-1}=a.1.\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{1+b-1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)
ttuong tu \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}\)
nên vt\(\le ab\)
dau = xảy ra a=b=2
1. Ta có : \(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)
\(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{a+b}{a+b+c+d}\)
\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{a+c+d}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\)
\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{a+b+d}< \frac{c+d}{a+b+c+d}\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\) ( đpcm )
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số ko âm b-1 và 1 ta có :
\(\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(b-1\right)+1}{2}=\frac{b}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> b - 1 = 1 <=> b = 2
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b}{2}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\) Dấu "=" xảy ra <=> a = 2
Do đó : \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2
\(VT\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}+\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\) ( Cosi ngược dấu )
:))
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp Cauchy ngược dấu ta có:
\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ba-b})^2\leq (a+b)(ab-a+ba-b)\)
\(\leq \left(\frac{a+b+ab-a+ba+b}{2}\right)^2=(ab)^2\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
Ta có \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\Leftrightarrow a+b=a-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+b-1\Leftrightarrow2=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\Leftrightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow a+b=ab\)Vậy nếu \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\) thì a+b=ab
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\left(a\ge1;b\ge1\right)\\ \Leftrightarrow a+b=a-1+b-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow a+b=a+b-2+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow2=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow1=\sqrt{a-1}\sqrt{b-1}\\ \Leftrightarrow1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\\ \Leftrightarrow1=ab-a-b-1\\ \Leftrightarrow ab=a+b\)