Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}\)
\(=3\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge3\cdot\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=12+2=14\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.
d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c
e,Xét hiệu :
\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\) => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.
=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM
nhầm sorry bạn
b, (m+4)2>= 16m
(=) m2+8m +16 -16m >= 0
(=)m2 -8m +16 >= 0
(=) (m+4)2>= 0
Ta có (m+4)2>= 0 với mọi m
Dấu "=" xảy ra (=) (m+4)2=0
(=) m +4 = 0
(=) m= -4
Vậy (m+4)2>= 16m dấu bằng xảy ra (=) m = -4
a, Ta có:
x2+y2/16 >= 1/2 xy
(=) x2-1/2xy +y2/16 >= 0
(=) x2- 2.x.1/4 . y + (y/4)2>= 0
(=) (x-y/4)2>= 0
Ta có
(x-y/4)2>= 0 với mọi x,y
Dấu "=" xảy ra khi (=) (x-y/4)2= 0
(=) x - y/4 =0
(=) 4x = y
Vậy x2+y2/16 >= 1/2 xy Dấu "=" xảy ra khi 4x = y.
b, Ta có:
(m+4)2> 16m
(=)m2+16m + 16 - 16m > 0
(=) m2+16 > 0
Ta có
m2>= 0 với mọi m
=> m2+16 > 0 với mọi m
Vậy (m+4)2> 16m
Chúc bạn học tốt.
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
\(P=\frac{x^2}{y^2+1}+\frac{y^2}{z^2+1}+\frac{z^2}{x^2+1}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2}\)
Với \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}\)
Xét:\(\frac{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+3}-\frac{3}{2}=\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2+3\right)}\ge0\)
Đến đây xong rồi he
b)áp dụng Bđt cô si
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)\(\Rightarrow-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge-6\)
\(\Rightarrow P\ge2+\left(-5\right)+5=1\)
Dấu = khi x=y
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)
Dấu = khi \(x=y\)
c) Ta có a + b > 1 > 0 (1)
Bình phương 2 vế: \(\left(a+b\right)^2>1\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+2ab+b^2>1\) (2)
Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) (3)
Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2>\frac{1}{2}\) (4)
Bình phương 2 vế của (4): \(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\) (5)
Mặt khác \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (6)
Cộng từng vế của (5) và (6): \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(a^4+b^4>\frac{1}{8}\) (đpcm).
1/ Áp dụng hẳng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\) là ra bạn nhé
\(A=\left[\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\right]\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\right]\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\right]\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left[\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\right]\left(3^{32}+1\right)\)
\(=\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(=3^{64}-1\)