K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 5 2022

-Đề sai.

Giả sử \(x=\dfrac{1}{3};y=\dfrac{2}{3};z=1\Rightarrow x+y+z=2\)

\(\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}+2.\dfrac{2}{3}.1+2.1.\dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{9}< 3\)

13 tháng 5 2022

cmr: xy+2yz+3zx<=3

8 tháng 12 2021

Ap dụng bất đẳng thức BDT Caucchy Schwarz ta có :

\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 9 2023

Lời giải:

Từ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

$\Rightarrow xy+yz+xz=0$

Khi đó:

$x^2+2yz=x^2+yz-xz-xy=(x^2-xy)-(xz-yz)=x(x-y)-z(x-y)=(x-z)(x-y)$

Tương tự với $y^2+2zx, z^2+2xy$ thì:

$P=\frac{yz}{(x-z)(x-y)}+\frac{xz}{(y-z)(y-x)}+\frac{xy}{(z-x)(z-y)}$

$=\frac{-yz(y-z)-xz(z-x)-xy(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=\frac{-[yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)]}{-[xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)]}=1$

6 tháng 8 2020

Ta có: \(\frac{x^2}{1+2yz}+\frac{y^2}{1+2zx}+\frac{z^2}{1+2xy}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}\)

Mà \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)

Nên thay vào ngược dấu

=> ch bt lm

6 tháng 8 2020

Nói chung khá đơn giản. Em chứng minh bất đẳng thức sau đây là được.

\(\frac{x^2}{1+2yz}=\frac{x^2}{x^2+\left(y^2+z^2+2yz\right)}=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)

Có thể chứng minnh nó bằng cách: \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)

Ta chứng minhL \(f\left(x,y,z\right)\ge f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)\ge0\) (quy đồng phát là ra nhân tử (y-z)^2 nên hiển nhiên:v)

Tương tự cộng lại. Xong.

Cách Cauchy-SChwarz:

Chứng minh theo trình tự: \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\Sigma x^2\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]}\ge\frac{3}{5}\)

13 tháng 12 2017

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

17 tháng 12 2017

Nhỡ may x=y=1/4 z=1/2 và các hoán vị của chúng thì sao ạ ??

a) Ta có: \(VT=\left(x-y-z\right)^2\)

\(=\left(x-y-z\right)\left(x-y-z\right)\)

\(=x^2-xy-xz-yx+y^2+yz-zx+zy+z^2\)

\(=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz\)

=VP(đpcm)

b) Ta có: \(VT=\left(x+y-z\right)^2\)

\(=\left(x+y-z\right)\left(x+y-z\right)\)

\(=x^2+xy-xz+yx+y^2-yz-zx-zy+z^2\)

\(=x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx\)

=VP(đpcm)

c) Sửa đề: Chứng minh \(\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)=x^4-y^4\)

Ta có: \(VT=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\)

\(=x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2-xy^3-y^4\)

\(=x^4-y^4\)

=VP(đpcm)

d) Ta có: \(VT=\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)\)

\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5\)

\(=x^5+y^5\)

=VP(đpcm)

20 tháng 7 2020

a, b, nhân vào là ra à

c, nghe cứ là lạ

d, cũng nhân là ra hà

\(=x^5-x^4y+x^3y^2-x^2y^3+xy^4+x^4y-x^3y^2+x^2y^3-xy^4+y^5=x^5+y^5\)