HN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
5 tháng 3 2020
Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)
Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bb và cc.
Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a
Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1
Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)
⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.
T
23 tháng 2 2020
Em có cách giải khác nhưng không chắc lắm!
Nếu \(c\ge\frac{13}{3}\) thì: \(60=5a^2+2abc+4b^2+3c^2\ge5a^2+\frac{26}{3}ab+4b^2+3c^2\)
\(=\frac{1}{45}\left(15a+13b\right)^2+\frac{11b^2}{45}+3c^2\)
\(>\frac{\left(15a+13b\right)^2}{45}+3c^2=\frac{\left(15a+13b\right)^2+135c^2}{45}\)
\(>\frac{\left(13a+13b\right)^2+\left(11c\right)^2}{45}\ge\frac{\left(13a+13b+11c\right)^2}{45}>\frac{121\left(a+b+c\right)^2}{45}\)
\(\Rightarrow A=a+b+c< \sqrt{\frac{60.45}{121}}< 4,8< 6\)
Nếu \(0< c< \frac{13}{3}\):
\(22\left(6-A\right)=22\left[6-\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{5}\left[\left(5a+bc-11\right)^2+\frac{5\left(c-3\right)^2\left(c+3\right)\left(13-3c\right)}{20-c^2}+\frac{(bc^2 - 20b - 11c + 55)^2}{20-c^2}\right]\ge0\)
(chú ý phân tích chỗ này chỉ đúng với a, b, c thỏa mãn giả thiết)
Do đó \(A\le6\). Tóm lại, trong mọi trường hợp của c, A luôn \(\le6\).
Vậy Max A = 6 khi \(a=1;b=2;c=3\)
21 tháng 2 2020
Trong đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa bài này có đáp án rồi.
Từ phương trình :\(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\)(1) và a, b , c là các số dương
=> \(4b^2< 60;3c^2< 60\)
=> \(\left(15-b^2\right)>0;\left(20-c^2\right)>0\)
(1) <=> \(5a^2+2bc.a+4b^2+3c^2-60=0\)
Xem đẳng thức trên phương trình bậc 2 có tham số là b và c ẩn là a.
Khi đó: \(\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)\)
\(=\left[\left(bc\right)^2-20b^2\right]-\left(15c^2-300\right)\)
\(=b^2\left(c^2-20\right)-15\left(c^2-20\right)=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)>0\)( theo trên )
=> phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
\(a=\frac{-bc\pm\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}\)
Xét nghiệm \(a=\frac{-bc+\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}\)
\(\le\frac{-bc+\frac{1}{2}\left(15-b^2+20-c^2\right)}{5}=\frac{-\left(b+c\right)^2+35}{10}\)
=> \(a+b+c=\frac{-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)+35}{10}\)
\(=\frac{-\left(b+c-5\right)+60}{10}\le\frac{60}{10}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}b+c-5=0\\b^2-15=c^2-20\\a+b+c=6\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\) thử lại thỏa mãn ( 1)
Vậy: min A = 6 tại a = 1; b = 2; c = 3
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
TH
2
TN
13 tháng 5 2016
Ta có:
Vt = 1/a +1/b +1/b >= 9/(a+2b)
Mặt khác
(a+2b)^2<=(1+2)(a^2 +2b^2) <=3*3c^2
=>(a+2b)<=3c
9/(a+2b)>=9/3c =3/c
=Vt >=3/c dpcm
Dấu "="xảy ra khi a=b=c =1
13 tháng 5 2016
Ta có:
Vt = 1/a +1/b +1/b >= 9/(a+2b)
Mặt khác
(a+2b)^2<=(1+2)(a^2 +2b^2) <=3*3c^2
=>(a+2b)<=3c
9/(a+2b)>=9/3c =3/c
=Vt >=3/c dpcm
Dấu "="xảy ra khi a=b=c =1
HT
0
QH
1
TN
23 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+2b}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)}}\)
\(>\frac{9}{\sqrt{3\cdot3c^2}}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}=VP\)
bạn chuyển về dạng pt bậc 2 rồi giải: 4b2 + 2abc + 5a2 + 3c2 - 60 = 0 . giải beta = (az)2 - 4( 5a2 + 3c2 - 60) = (-a2 + 12)(-c2 +20) > 01
\(b_1=\frac{-a^2+\sqrt{\left(-a^{2^{ }}+12\right)\left(-c^{2^{ }}+20\right)}}{4}\)\(\le\)..... \(\frac{3c-\left(a+c\right)^2}{8}\).
tương tự giải đối với a, c .. Suy ra : a+b+c\(\le\)\(\frac{35-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)}{10}\)= \(\frac{-t^2+10t+35}{10}\)=\(\frac{60-\left(t^2-10t+25\right)^{ }}{10}\)=\(\frac{60-\left(t-5\right)^2}{10}\)=\(\frac{60-\left(b+c-5^{ }\right)^2}{10}\)\(\le\)\(\frac{60}{10}=6\).Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow\) b +c - 5 = 0 và 15- b2 = 20 - c2
\(\Leftrightarrow\)a=1,b= 2, c= 3.