MT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
H
1
29 tháng 12 2015
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3\)
<=> \(2^3\ge\left(a+b\right)^3\)
MT
0
MT
0
KB
4
17 tháng 5 2019
giả sử a + b > 2.
đặt a = x + y ; b = x - y, ta có :
a + b = 2x > 2 \(\Rightarrow\)x > 1 ( 1 )
Ta có : a3 + b3 = ( x + y )3 + ( x - y )3 = 2x3 + 6xy2
do ( 1 ) nên 2x3 > 2 ; 6xy2 \(\ge\)0 .
vậy a3 + b3 > 2, trái với giả thiết
\(\Rightarrow\)a + b \(\le\)2
CC
2
ML
30 tháng 12 2015
\(a^3+b^3=2\Rightarrow b=\sqrt[3]{2-a^3}\)
\(a+b=a+\sqrt[3]{2-a^3}\)
Ta chứng minh: \(a+\sqrt[3]{2-a^3}\le2\Leftrightarrow a-2\le\sqrt[3]{a^3-2}\Leftrightarrow\left(a-2\right)^3\le a^3-2\)
\(\Leftrightarrow-6a^2+12a-6\le0\Leftrightarrow6\left(a-1\right)^2\ge0\text{ }\left(\text{đúng }\forall a\in R\right)\)
Vậy \(a+b\le2.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1.\)
KL: GTLN của a+b là 2.
31 tháng 12 2015
Mr Lazy đây là tìm điểm cực trị chứ không phải là chứng minh bạn ơi
CC
5
24 tháng 2 2017
Câu 2a
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2-\left(a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)( đpcm )
Câu 2b
\(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow2abcd\le b^2c^2+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le b^2c^2-2abcd+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(bc-ad\right)^2\)( đpcm )
24 tháng 2 2017
Câu 4a
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đpcm )
Câu 4c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow3a+5b\ge2\sqrt{3a.5b}=2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow12\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6\ge\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6^2\ge15ab\)
\(\Rightarrow36\ge15ab\)
\(\Rightarrow ab\le\frac{12}{5}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\)
Vậy GTLN của \(P=\frac{12}{5}\)
19 tháng 10 2021
a+b+c=0
⇔⇔(a+b+c)2=0
⇔⇔a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0 mà a2+b2+c2=2
⇒⇒2ab+2bc+2ca=-2
⇔⇔(2ab+2bc+2c)2=4
⇔⇔4a2b2+4c2b2+4a2c2+8abc(a+b+c)=4 mà a+b+c=0
⇒⇒4a2b2+4c2b2+4a2c2=4 (1)
⇔⇔2a2b2+2c2b2+2a2c2=2
Mặt khác:
a2+b2+c2=2 ⇒⇒(a2+b2+c2)2=4
⇔⇔a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4 (2)
Từ (1) và (2) ⇒⇒4a2b2+4c2b2+4a2c2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)
⇔⇔2a2b2+2c2b2+2a2c2=a4+b4+c4
⇒⇒a4+b4+c4=2 (vì 2a2b2+2c2b2+2a2c2=2)
Đặt a = 1-x
\(^{a^3+b^3=2=>b^3=2-a^3=2-\left(1-x\right)^3=1+x^3-3x^2+3x\le x^3+3x^2+3x+1=\left(x+1\right)^3=>b^3\le\left(x+1\right)^3=>b\le x+1}\)N=a+b\(\le\)1-x+x+1=2
Vậy Max N = 2 <=> x=0 <=> a=b=1
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) = 2
ta có: a2 - ab + b2 = (a - (b/2))2 + 3b2/4 => a2 - ab + b2 \(\ge\) 0. Do đó, a + b > 0 (do 2> 0)
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi cốp xki ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2\)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunhi cốp xki với các số \(a\sqrt{a};\sqrt{a};b\sqrt{b};\sqrt{b}\) ta có
=> \(\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2=4\left(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b}\right)^2\le4.\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)=8\left(a+b\right)\)
Do a + b > 0 nên \(\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le\sqrt[3]{8}=2\)
=> Max N = 2 khi a = b = 1