K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
Xét:
$M=1+10+....+10^n$
$10M=10+10^2+....+10^{n+1}$
$10M-M=10^{n+1}-1$
$M=\frac{10^{n+1}-1}{9}$
$A=M.(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}+1$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}-5+9}{9}$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}$
$=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}$
$=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2$
Ta thấy: $10^{n+1}+2\equiv 1^{n+1}+2=3\equiv 0\pmod 3$
Do đó: $\frac{10^{n+1}+2}{3}\in\mathbb{N}$
Suy ra $A$ là scp.
Đặt B = \(10^n+10^{n-1}+.........+10+1\)
=> 10B = \(10^{n+1}+10^n+........+10^2+10\)
=> 10B - B = \(10^{n+1}-1\)
Ta có 9A=9B.(\(10^{n+1}+5\)) + 9 = (\(10^{n+1}-1\)).(\(10^{n+1}+5\)) +9
9A = (\(\left(10^{n+1}\right)^2+5.10^{n+1}-10^{n+1}-5+9\) = \(\left(10^{n+1}\right)^2+4.10^{n+1}+4\) = \(\left(10^{n+1}+2\right)^2\)
=> A = \(\left(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)
Vì ( \(10^{n+1}+2\)) chia hết cho 3 nên \(\left(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)là số chính phương
=> A là số chính phương