TH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DP
0
TK
1
LN
2
10 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức... mình không biết tên mình mới lớp 7 thui ( có thể là Côsi, AM-GM, Cauchy... ) ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) ( đpcm )
Vậy
23 tháng 10 2018
Đứa nào đăng lại câu hồi xưa nhục vc -,-
Cách 1 :
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9\) ( Cosi 2 lần )
Cách 2 :
\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\) ( Cosi 2 tích )
Cách 3 :
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}=9\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Chúc bạn học tốt ~
NT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^3+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 3\sqrt{a}$
$b^3+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq 3\sqrt{b}$
$c^3+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt{c}$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$a^3+b^3+c^3+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$
Giờ ta chỉ cần cm: $3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$ thì bài toán hoàn thành.
Thật vậy:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3a$
$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3b$
$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3c$
Cộng 3 BĐT trên lại theo vế và thu gọn:
$a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$
$\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(ab+bc+ac)$
(đpcm)
Bài toán hoàn thành.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
\(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Do a>b>0 nên a-b>0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta được:
\(\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt{\left(a-b\right).b.\frac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)
=>\(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=2;b=1