K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TD
0
22 tháng 3 2016
Nếu mà bạn giải Violympic thì có thể làm theo cách này :
Vì vai trò của x,y trong phép tính là như nhau
=> Amin <=> x=y
<=> x2=y2=0,5
<=> x=y=\(\sqrt{0.5}\)
=> Amin= \(2\sqrt{2}\)
P/s: đây là cách mình hay làm nhưng chỉ áp dụng được trên Violympic thoy
T
24 tháng 7 2019
Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz dạng Engel ta thu được:
\(E\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{t^2}{t-2}\left(t=a+b>2\right)\)
Ta có: \(E\ge\frac{t^2}{t-2}+4\left(t-2\right)-4t+8\ge2\sqrt{\frac{t^2}{t-2}.4\left(t-2\right)}-4t+8\)
\(=4t-4t+8=8\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2 (chị tự giải kĩ ra nha)
24 tháng 7 2019
Áp dụng bđt Cô si ta có:
\(E=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\)
Mặt khác:\(\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-4a+4+4a-4}{a-1}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-1}+4\ge4\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{b-1}\ge4\).Nhân theo vế suy ra \(E\ge8\)
\("="\Leftrightarrow a=b=2\)
DQ
2
7 tháng 9 2015
Từ giả thiết suy ra \(3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=9\to a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le3.\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta có \(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^3+3}}\ge\frac{4a^4}{a^2b^2+3a^2+4}+\frac{4b^4}{b^2c^2+3b^2+4}+\frac{4c^4}{c^2a^2+3c^2+4}\)
\(\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+12}\ge\frac{4\times3^2}{3+3\cdot3+12}=\frac{3}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\to\) giá trị bé nhất của P là \(\frac{3}{2}.\)
16 tháng 4 2018
- bạn ghi rõ cái phần bất đẳng thức cauchy đc ko mk ko hiểu
2 tháng 3 2017
\(P=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}\)
\(\Leftrightarrow P=a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\\b^2+2a^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\le\frac{2ab^2}{2ab\sqrt{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}}\\\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\le\frac{2a^2b}{2ab\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\frac{b}{\sqrt{2}}\\b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge b-\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge a+b-\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\)
Ta có \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow9\le\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow9\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow a+b\ge14\)
\(\Rightarrow\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge14-7\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của \(P=14-7\sqrt{2}\)
TG
0