AT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PA
31 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(2\ge a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le1\)
\(A=a\sqrt{3b\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\)
\(\le\dfrac{a\left(3b+a+2b\right)}{2}+\dfrac{b\left(3a+b+2a\right)}{2}\)
\(=\dfrac{a\left(5b+a\right)+b\left(5a+b\right)}{2}\)
\(=\dfrac{a^2+10ab+b^2}{2}\)
\(\le\dfrac{2+10}{2}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
PH
1
I
13 tháng 4 2020
ta có \(\sqrt[3]{3a+1}=\frac{\sqrt[3]{\left(3a+1\right)2.2}}{\sqrt[3]{4}}\le\frac{3a+1+2+2}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{3a+5}{3\sqrt[3]{4}}\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{3b+1}\le\frac{3b+5}{3\sqrt[3]{4}}\\\sqrt[3]{3c+1}\le\frac{3c+5}{3\sqrt[3]{4}}\end{cases}}\)
\(=>P\le\frac{3\left(a+b+c\right)+15}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=3\sqrt[3]{2}\)
VT
27 tháng 4 2018
1) Áp dụng BĐT bunhia, ta có
\(P^2\le3\left(6a+6b+6c\right)=18\Rightarrow P\le3\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)
Do đó: $P\geq 3.1=3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-0a1-0b2-0c3tim-gtln-cua-a-dfracsqrt1-aa-dfracsqrt2-bb-dfracsqrt3-ccbai-nay-dung-cauchyminh-suy-nghi.179994478119
AT
1
21 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương, ta có:
\(\left(b+3c\right)+4\ge2\sqrt{4\left(b+3c\right)}=4\sqrt{b+3c}\\ \)
\(\Rightarrow\sqrt{b+3c}\le\frac{b+3c+4}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}\le\frac{ab+3ac+4a}{4}\)
Tương tự ta có \(b\sqrt{c+3a}\le\frac{bc+3ab+4b}{4}\)
\(c\sqrt{a+3b}\le\frac{ac+3bc+4c}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)}{4}\)\(=\frac{4\left(ab+bc+ac\right)+12}{4}\)
Ta có bổ đề:3(ab+bc=ca) \(\le\)(a+b+c)^2 => 3(ab+bc+ca) \(\le9\)=> \(\text{(ab+bc+ca)}\le3\)
=>\(a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4.3+12}{4}=6\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1
Dùng điểm rơi a=b=1
Gọi M là biểu thức đầu bài ta có
\(M=\frac{3}{2}\sqrt{\left(3a+1\right).4}+\sqrt{\left(3b+1\right).4}\le\frac{3}{4}\left(3a+5\right)+\frac{1}{2}\left(3b+5\right)\)
\(=\frac{9a+6b}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}+\frac{25}{4}=10\)