Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{65}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(VT\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{16\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}+\frac{65}{2^2}}=\frac{\sqrt{97}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Áp dụng bđt Holder, ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right).\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right)\left[a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+c^2a^2\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\left(ab+bc+ca\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{8}\)
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^4+a^4b^2+b^2c^4+b^4c^2+c^2a^4+c^4a^2}\)
Đặt a2=x, b2=y, c2=z
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\)(1)
Theo bđt Schur, ta có:
\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+6xyz+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\ge4.\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)+3xyz\)
Vì \(xyz=\left(abc\right)^2\ge0\)
=>\(\left(x+y+z\right)^3\ge4\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\)
=>\(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\ge4\)
Thay vào (1)=>\(VT^2\ge\frac{1}{2}=>VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
=>ĐPCM
a,b,c>=0 mới được nhé
Đặt biểu thức là A
\(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}>=\frac{\sqrt{2abab}}{a^2}=\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}\)
Dấu = xảy ra khi có một trong 2 số a,b =0 hoặc a=b.
Tương tự=> A>=\(\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2}bc}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2}ca}{a^2+c^2}\)
\(\sqrt{2}A>=\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\)
\(\sqrt{2}A+3>=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}.\)
>=\(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=4.\)
=>A>=1/căn 2
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng nhau, một số =0
Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky: \(\left(b+c\right)^2\le2\left(b^2+c^2\right)\Leftrightarrow b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\)
tương tự với các cặp còn lại , ta thu được \(VT\ge\frac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b^2+c^2}=x\\\sqrt{a^2+c^2}=y\\\sqrt{a^2+b^2}=z\end{cases}}\)(\(x,y,z\ge0\)và \(x+y+z=\sqrt{2011}\))\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{cases}}\)
\(VT\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}+\frac{x^2+z^2-y^2}{2\sqrt{2}y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2\sqrt{2}z}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{z^2+x^2-y^2}{y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{z}-x-y-z\right)\)
ÁP dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz:
\(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{x}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{2x+2y+2z}=2x+2y+2z\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}\)( vì \(x+y+z=\sqrt{2011}\))
đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2011}}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2011}{2}}\)
Kết hợp Mincôpxki và C-S:
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{a+c}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{\frac{405}{4\left(a+b+c\right)^2}+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\sqrt{\frac{405}{12\left(a^2+b^2+c^2\right)}+2\sqrt{\frac{81\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}}=\sqrt{\frac{405}{12.3}+18}=\frac{3\sqrt{13}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=z\\\sqrt{b^2+c^2}=x\\\sqrt{c^2+a^2}=y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{cases}}\)\(\forall\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=\sqrt{2017}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=2x\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(2\sqrt{2}\cdot VT\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{y^2+x^2-z^2}{z}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}\)
\(=\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\)
\(\ge\frac{\left(2\left(x+y+z\right)\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\sqrt{2017}=\sqrt{2017}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2}\cdot VT\ge\sqrt{2017}\Rightarrow VT\ge\frac{\sqrt{2017}}{2\sqrt{2}}=VP\)