Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\ge1\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}\le1\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có, với a,b,c >0
a/bc + b/ac ≥ 2*1/c
b/ac + c/ab ≥ 2*1/a
a/bc + c/ab ≥ 2*1/b
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được
2*(a/bc + b/ac + c/ab) ≥ 2(1/a+1/b+1/c)
<=> đpcm
Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:
\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{bc}.\dfrac{b}{ca}}=\dfrac{2}{b}bca+cab≥2bca.cab=b2
Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế ba bất đẳng thức nhận được rồi chia 2 vế bất đẳng thức cho 2 ta được đpcm.
Bạn xem lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abcge0a2b2c21cmr-dfracc1abdfracb1acdfraca1bcge1.1019784090594
Fix đề: Cho a,b,c không âm. Chứng minh \(\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}\)
Dự đoán điểm rơi sẽ có 1 số bằng 0.
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) ( c là số nhỏ nhất trong 3 số) thì \(c\ge0\)
do đó \(ab+bc+ca\ge ab\) và \(\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{\left(c-a\right)^2}=\dfrac{1}{\left(a-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}\)
BDT cần chứng minh tương đương
\(ab\left[\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right]\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+2\ge4\)
BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Do đó ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi c=0 , \(\left(a-b\right)^2=a^2b^2\) ( và các hoán vị )
* Vì \(a,b\ge1\)nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
Một cách tương tự: \(bc+1\ge b+c;ca+1\ge c+a\)
Với mọi số thực \(a\ge1\) ta luôn có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2\ge2a-1\Leftrightarrow\frac{1}{2a-1}\ge\frac{1}{a^2}\)
Tương tự: \(\frac{1}{2b-1}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{2c-1}\ge\frac{1}{c^2}\)
Từ đó suy ra \(VT\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{4ab}{ab+1}+\frac{4bc}{bc+1}+\frac{4ca}{ca+1}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+4-\frac{4}{ab+1}+4-\frac{4}{bc+1}+4-\frac{4}{ca+1}\)\(\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}-\frac{4}{ab+1}-\frac{4}{bc+1}-\frac{4}{ca+1}+12\)\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}-\frac{4}{a+b}-\frac{4}{b+c}-\frac{4}{c+a}+12\)\(=\left(\frac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\frac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\frac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\ge1\)
\(\Leftrightarrow2\ge\dfrac{a+b}{a+b+1}+\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+a+b}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2+b+c}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)^2+c+a}\)
\(\Rightarrow2\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c}\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\)đpcm