Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Tìm GTNN a: $F= 14(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$ | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{3}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^4\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Ta lại có:
\(ab+bc+ca=\frac{1-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\)
Làm tiếp.
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)
Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)
\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)
Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Ta có : \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Áp dụng BĐT :
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)ta có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\left(2\right)\)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được :
\(6=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)\(+\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
\(\Leftrightarrow P+\sqrt{3}.\sqrt{P}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{P}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{P}+2\sqrt{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\)
Vậy \(P_{min}=3\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
$ab+bc+ca=3$. CMR: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geqslant \frac{3}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Từ giả thiết:\(ab+bc+ca=3\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=9-2abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\)\(=\frac{1}{\frac{2a^2+bc}{a}}+\frac{1}{\frac{2b^2+ca}{b}}+\frac{1}{\frac{2c^2+ab}{c}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+\frac{bc}{a}+2b+\frac{ca}{b}+2c+\frac{ab}{c}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9-2abc\left(a+b+c\right)}{abc}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9}{abc}-2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{9}{abc}}=abc\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{2a^2+bc}{a}=\frac{2b^2+ca}{b}=\frac{2c^2+ab}{c}=\frac{2a^2+bc-2b^2-ca}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)}{a-b}\)
\(=2\left(a+b\right)-c\).Tương tự ta có:\(2\left(a+b\right)-c=2\left(b+c\right)-a=2\left(c+a\right)-b\)
\(\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 ta có :
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)= \(\frac{\sqrt{a^2+b^2+a^2}}{ab}\)>= \(\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b+a\right)^2}{3}}}{ab}\) = \(\frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}\) = \(\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}a}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}c}+\frac{1}{\sqrt{3}b}\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}a}+\frac{1}{\sqrt{3}c}\)
=> \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)+ \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)+ \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{3}{\sqrt{3}a}+\frac{3}{\sqrt{3}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\).(1/a+1/b+1/c) = \(\sqrt{3}\).(ab+bc+ca)/abc = \(\sqrt{3}\).abc/abc = \(\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
=> ĐPCM
k mk nha
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{3bc}+\frac{b}{2ca}+\frac{\sqrt{6}c^2}{6}\ge\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{3b}{2ca}+\frac{3c}{ab}+\frac{\sqrt{6}a^2}{6}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{2a}{3bc}+\frac{2c}{ab}+\frac{\sqrt{6}b^2}{6}\ge\sqrt{6}\)
Cộng theo vế ta có: \(P\ge2\sqrt{6}\).
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)