Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
có lẽ xài viete.
a+b+c=abc <=> b+c=abc-a=a.(2a2-1)=2a3-a
mà bc=2a2=> b,c là nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2a^3-a\right)x+2a^2=0\)
để phương trình có nghiệm thì \(\Delta=\left(2a^3-a\right)^2-8a^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left[\left(2a^2-1\right)^2-8\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-1\ge2\sqrt{2}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a\ge\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2}}\)(đpcm)
ap dung bat dang thuc amgm
\(\sqrt{b^3+1}\) \(=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\frac{b+1+b^2-b+1}{2}\) \(=\frac{b^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\ge2.\frac{a}{b^2+2}\)
P=\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge2\left(\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\right)\) \(\)
=\(2\left(\frac{a^2}{a\left(b^2+2\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+2\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+2\right)}\right)\)
tiep tuc ap dung bdt cauchy-swart dang phan thuc
\(\ge2\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+2\right)+b\left(c^2+2\right)+c\left(a^2+2\right)}\)=
Lời giải:
Do $abc=1$ nên đặt:
\((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x})\) với $x,y,z>0$
Khi đó, bài toán trở thành: Cho $x,y,z>0$. CMR:
\(\frac{xz^2}{2z^2y+xy^2}+\frac{yx^2}{2x^2z+yz^2}+\frac{zy^2}{2y^2x+zx^2}\geq 1\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{xz^2}{2z^2y+xy^2}+\frac{yx^2}{2x^2z+yz^2}+\frac{zy^2}{2y^2x+zx^2}=\frac{(xz)^2}{2xyz^2+(xy)^2}+\frac{(xy)^2}{2x^2yz+(yz)^2}+\frac{(yz)^2}{2xy^2z+(xz)^2}\)
\(\geq \frac{(xz+xy+yz)^2}{2xyz^2+(xy)^2+2x^2yz+(yz)^2+2xy^2z+(xz)^2}=\frac{(xy+yz+xz)^2}{(xy+yz+xz)^2}=1\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c=1$
vũ tiền châu tham khảo nhé:
Ta có: 3 = ab + bc + ca ≥ 3.³√(abc) = > abc ≤ 1 <=> 1 - abc ≥ 0
1 + a²(b + c) = 1 + a(ab + ac) = 1 + a(3 - bc) = 1 - abc + 3a ≥ 3a
=> 1/[1 + a²(b + c)] ≤ 1/(3a)
Tương tự:
1/[1 + b²(c + a)] ≤ 1/(3b)
1/[1 + c²(a + b)] ≤ 1/(3c)
Cộng vế 3 bđt trên đc:
VT đpcm ≤ 1/3 . (1/a + 1/b + 1/c) = 1/3 . (ab + bc + ca)/abc = 1/3 . 3/abc = 1/abc (đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)4\sqrt{abc}\geq 9abc\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\geq \frac{9}{4}\sqrt{abc}>2\sqrt{abc}\)
Ta có đpcm. Dấu bằng không xảy ra.