Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}\le\frac{1+x+1-x+x^2}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{1+x^3}}\ge\frac{2}{x^2+2}\)
Xét \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}}}\) \(=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}\)
\(=\frac{2a^2}{b^2+c^2+2bc+2a^2}\ge\frac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}\) (1) (cái này bạn tự quy đồng sau đó áp dụng cosi cho 2bc)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{2b^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\) (2) \(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{2c^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\) (3)
Cộng các vế của (1),(2) và (3) ta có đpcm
Đặt \(x=\frac{b+c}{a}>0\) .Ta cần CM:
\(\sqrt{1+x^3}\le1+\frac{1}{2}x^2\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2\ge4\left(x^3+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+4x^2\ge0\Leftrightarrow x^2\left(x-2\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng => đpcm
ĐT xảy ra<=> \(b+c=2a\)
Làm tiếp:)
Ta có: \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2};\)
\(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta đc đpcm .
ĐT xảy ra<=> a=b=c
Xét bất đẳng thức phụ\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a\left(b+c\right)^3\)
Áp dụng kết hợp bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^4}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)^6}{4}}=\left(b+c\right)^3\)
Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Tương tự rồi cộng lại ta được \(VT\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau hoặc có 2 biến dần về 0
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)
\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)
Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)
Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
cauchy-schwarz:
\(VT=\frac{c^2}{ac^2+bc^2}+\frac{a^2}{a^2b+a^2c}+\frac{b^2}{b^2c+b^2a}+\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)