Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(bdt\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{d+a}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(*)
Theo Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\ge\frac{4}{a+b+c+d};\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{a+b+c+d}\)
Khi đó:\(\left(\cdot\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}=4\)
Ta có : (a+b)/(a+b+c)<(a+b)/(a+b+c+d) ; (b+c)/(b+c+d)<(b+c)/(a+b+c+d) ; (c+d)/(c+d+a)>(c+d)(a+b+c+d) ; (a+d)/(a+b+d)>(a+d)(a+b+c+d)
Cộng 4 bất đẳng thức trên rồi rút gọn vế phải sẽ ra kết quả như đề bài
Trên trường tui không nghĩ ra về nhà mới phát hiên ra được
Cho mk hỏi bạn TMDuc va TNVuong thi cùng trường à. Sao lại có bài chung thế.
áp dung bdt 1/x+1/y>=4/x+y ta co
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+...\)
=(a+c)(\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\)) + (b+d)(\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\))\(\ge\)\(\frac{4a+4c}{a+b+c+d}+\frac{4b+4d}{a+b+c+d}\)=4(dpcm)
= \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)
Để \(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{c+d}+1+\frac{c-d}{d+a}+1+\frac{d-a}{a+b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(Cần phải chứng minh)
Ta có : \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\ge\left(a+c\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(1\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
\(\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\left(b+d\right).\frac{4}{a+b+c+d}\left(2\right)\)(Áp dụng BĐT Cô-si)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4\)(Điều phải chứng minh)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}}=2\left|b\right|=2b\)( vì b > 0 )
Tương tự : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\); \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)
Cộng vế với vế các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Giả sử ta phải chứng minh: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\left(a,b,c>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+\frac{2ab.bc}{ac}+\frac{2bc.ca}{ab}+\frac{2ca.ab}{cb}\ge\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+2b^2+2c^2+2a^2-a^2-b^2-c^2\ge\)\(2ab+2bc+2ca\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\left(1\right)\).
Vì \(a,b,c>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+c^2\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{c^2}.c^2}=2ab\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^2c^2}{a^2}+a^2\ge2bc\left(a,b,c>0\right)\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^2a^2}{b^2}+b^2\ge2ca\left(4\right)\).
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{c^2a^2}{b^2}+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\).
Do đó bất đẳng thức đã được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c>0\).
Vậy \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)với \(a,b,c>0\).