Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Ta có: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}=\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz có:
\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8bc}+c\sqrt{c^2+8bc}}\)
Lại sử dụng bđt Cauchy schwarz ta có:
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\cdot\sqrt{c^3+8abc}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}}=\sqrt{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}}\)
=> Ta cần chứng minh: \(\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)
hay \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Áp dụng bđt Cosi ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân các vế của 3 bđt trên ta đc:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
=> Đpcm
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(1+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\geq \sqrt{\frac{3}{yz}}; \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\geq \sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\text{VT}\geq \sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\) (Cauchy)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Câu 4:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\)
\(\Leftrightarrow 1.(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\Rightarrow x+y\geq 5+2\sqrt{6}\)
Vậy \(A_{\min}=5+2\sqrt{6}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{6}; y=3+\sqrt{6}\)
------------------------------
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
\(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{3(a^2+b^2)}{4ab}\geq \frac{6ab}{4ab}=\frac{3}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên:
\(\Rightarrow B\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(B_{\min}=\frac{5}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
a) Sai với \(a=1,b=2\)
b)
Thực hiện biến đổi tương đương:
\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)
Ta chứng minh được:
\(\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Thật vậy, bđt đúng với \(\left(\dfrac{ab}{c};\dfrac{bc}{a};\dfrac{ca}{b}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=> BĐT cần chứng minh xảy ra dấu bằng khi a=b=c
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge3\)
ta có \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow1\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
a) theo bđt cauchy schwarz ta có
\(\dfrac{a^3b^3}{c}+\dfrac{b^3c^3}{a}+\dfrac{c^3a^3}{b}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6b^6c^6}{abc}}=3\dfrac{a^2b^2c^2}{\sqrt[3]{abc}.1}\ge3\dfrac{a^2b^2c^2}{\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}=3abc\)
có \(\dfrac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)}{a+c}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\)=a=b+c
=>\(\dfrac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}\)=a+b+c
=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\)=a+b+c
=>\(\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
tự làm tiếp
3.
\(\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
áp dụng bất đẳng thức cosi
+ \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}\)
......
tương tự với 2 cái sau
a) ta có
\(3\left(a+b+c\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(a^3+ab^2\ge2a^2b\) ; \(b^3+bc^2\ge2b^2c\) ; \(c^3+ca^2\ge2c^2a\)
\(\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^2b+b^2c+c^2a\) (1)
Áp dụng BĐT C.B.S ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\) (2)
từ (1) và (2) ta được đpcm
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{3-c^2}{2}\) tương tự
\(bc\le\dfrac{3-a^2}{2}\) ; \(ac\le\dfrac{3-b^2}{2}\)
BĐT cần chứng minh trở thành :
\(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+a^2\right)}+\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}+\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{3}{4}\)
Ta chứng minh BĐT phụ sau
\(\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{c^2}{4}\)\(\Leftrightarrow12-4c^2\le2c^2\left(3+c^2\right)\Leftrightarrow c^4+5c^2+6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2+2\right)\left(c^2+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
tương tự : \(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{4}\) ; \(\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}\le\dfrac{b^2}{4}\)
Cộng Ba vế BĐT trên lại ta có:
\(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+a^2\right)}+\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}+\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Vậy ta có đpcm
Đặt:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bt\\c=dt\end{matrix}\right.\)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2t}{d^2t}=\dfrac{b^2}{d^2}\\\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+b^2}{d^2t^2+d^2}=\dfrac{b^2\left(t^2+1\right)}{d^2\left(t^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{t^2bd}{bd}=t^2\\\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+d^2t^2}{b^2+d^2}=\dfrac{t^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)