Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\), ta có:
\(\left(2^2+2^2\right)\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(2a^2+2b^2\right)^2\)\(\ge\left[2\times\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right]^2=\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:
\(a^4+b^4\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^4}{2}\) = \(\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\)
Dấu = xảy ra khi a=b
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\) với a,b,c > 0
Áp dụng BĐT Chauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=c\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge c\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}=2c\)
\(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=a\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\ge a\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}=2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}=b\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge b\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2b\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)
\(=>2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\ge12\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Do \(a+b+c=3\)
\(=>\left(a+b+c\right)^2=9\\ =>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\)
Thế vào biểu thức \(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+9\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\) (1)
Ta có \(\begin{cases}a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\\a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\end{cases}\)
\(=>\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>\left(2ab+2ac+2bc\right)-\left(ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>ab+bc+ac\ge3\) (2)
Từ (1) và (2)
\(=>a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)