Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2 ) Ta có : \(\frac{1}{3}\left(a^3+b^3+a+b\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+1-ab\right)+ab\le a^2+b^2+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)-ab\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+1-ab\right)\left(\frac{a+b}{3}-1\right)\le0\)
Do a ; b dương \(\Rightarrow a^2+b^2+1-ab>0\Rightarrow\frac{a+b}{3}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\le3\)
\(M=\frac{a^2+8}{a}+\frac{b^2+2}{b}=a+\frac{8}{a}+b+\frac{2}{b}=2a+\frac{8}{a}+\frac{2}{b}+2b-\left(a+b\right)\ge8+4-3=9\)
( áp dụng BĐT Cauchy cho a ; b dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1\)
Tìm min cho K, tìm max có lẽ Bunhia là ra thôi:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3a+1}=x\\\sqrt{3b+1}=y\\\sqrt{3x+1}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le x;y;z\le\sqrt{10}\)
\(x^2+y^2+z^2=3\left(a+b+c\right)+3=12\)
Bài toán trở thành cho \(x^2+y^2+z^2=12\), tìm min \(P=x+y+z\)
Ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{10}\right)\le0\Rightarrow x^2-\left(\sqrt{10}+1\right)x+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{10}\right)=y^2-\left(\sqrt{10}+1\right)y+\sqrt{10}\le0\)
\(\left(z-1\right)\left(z-\sqrt{10}\right)=z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)z+\sqrt{10}\le0\)
Cộng vế với vế:
\(x^2+y^2+z^2-\left(\sqrt{10}+1\right)\left(x+y+z\right)+3\sqrt{10}\le0\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=\frac{12+3\sqrt{10}}{\sqrt{10}+1}=2+\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2+\sqrt{10}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;\sqrt{10}\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị
xin lỗi nha MÌNH sai đề ở chổ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
\(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ab+3b^2}\)
\(=\sqrt{2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}+\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{2\left(c+a\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{2}\left(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3\right)=6\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của P là \(6\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Em có cách này không biết đúng không.Nếu sai đừng chửi e nha!Em mới lớp 7 thôi.
Từ đề bài suy ra \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow a\left(3-a\right)\ge0\Leftrightarrow3a\ge a^2\)
Tương tự với b và c ta được:
\(K\ge\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}=P\left(a;b;c\right)\)
Đặt \(t=\frac{b+c}{2}\),ta có:
\(P\left(a;t;t\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
\(=P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Xét hiệu:
\(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\left(\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right)-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (anh tự c/m,phải có cái này mới có dấu "=")
Suy ra \(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}=0\) (Khai căn cái mẫu ra)
Từ đây suy ra \(P\left(a;b;c\right)\ge P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=P\left(a;t;t\right)\)
Mặt khác,kết hợp giả thiết suy ra \(a+2t=3\Rightarrow a=3-2t\)
Do đó,ta cần tìm min của: \(P\left(3-2t;t;t\right)=\sqrt{\left(3-2t\right)^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
Đến đây em bí rồi ạ,để em suy nghĩ tiếp.
Giải xong bài này ra chắc chết... "." chấm cái nhẹ hóng cao nhân!
Áp dụng BĐT cosi, ta có
\(\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{4+3a+1}{2}=\dfrac{3a+5}{4}\)
CMTT, ta có \(\sqrt{3b+1}\le\dfrac{3b+5}{4};\sqrt{3c+1}\le\dfrac{3c+5}{4}\)
Từ đó suy ra \(K\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+15}{4}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Vậy...
ta có BĐT \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{a\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0đúng\forall a\)
CMRTT, ta có
\(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{b\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{c\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
Do đó \(K\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+3=\sqrt{10}+2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3, b=c=0
Vậy...