VS
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 3 2021
Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}\le\dfrac{a+b}{2}+3.\dfrac{b+c}{2}+5.\dfrac{c+a}{2}ab+3bc+5ca≤2a+b+3.2b+c+5.2c+a
=3a+2b+4c=3a+2b+4c
Từ đó 3a+2b+4c\ge\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}3a+2b+4c≥ab+3bc+5ca.
8 tháng 7 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được
\(\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ac}\) ≤ a+b/2 + 3/2*(b+c) + 5/2*(a+c) = 3a +2b+4c
<=> đpcm
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 8 2020
Từ kết quả bài toán suy ngược ra thôi
Muốn giải thích thì cứ phá 2 vế ra rồi so sánh là tìm ra cách tách biểu thức
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 8 2020
Câu 4 mình ko biết giải quyết kiểu lớp 9 (mặc dù chắc chắn là biểu thức sẽ được biến đổi như vầy)
Đó là kiểu trình bày của lớp 11 hoặc 12 để bạn tham khảo thôi
30 tháng 12 2017
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 ta có :
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)= \(\frac{\sqrt{a^2+b^2+a^2}}{ab}\)>= \(\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b+a\right)^2}{3}}}{ab}\) = \(\frac{2a+b}{\sqrt{3}ab}\) = \(\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}a}\)
Tương tự : \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}c}+\frac{1}{\sqrt{3}b}\) ; \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{2}{\sqrt{3}a}+\frac{1}{\sqrt{3}c}\)
=> \(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\)+ \(\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\)+ \(\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\)>= \(\frac{3}{\sqrt{3}a}+\frac{3}{\sqrt{3}b}+\frac{3}{\sqrt{3}c}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{3}}\).(1/a+1/b+1/c) = \(\sqrt{3}\).(ab+bc+ca)/abc = \(\sqrt{3}\).abc/abc = \(\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3
=> ĐPCM
k mk nha
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
UK
11 tháng 12 2017
Ta chứng minh: \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
Thật vậy, ta có:
\(a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(Đúng theo Cauchy)
Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
RD
9 tháng 12 2018
a)Bunhia:
\(\left(1+2\right)\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(1.b+\sqrt{2}.\sqrt{2}a\right)^2=\left(b+2a\right)^2\)
b)\(ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bđt câu a
=>VT\(\ge\)\(\dfrac{b+2a}{\sqrt{3}ab}+\dfrac{c+2b}{\sqrt{3}bc}+\dfrac{a+2c}{\sqrt{3}ca}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}=3=VP\)
Tự tìm dấu "="
9 tháng 12 2018
Nguyễn Việt LâmMashiro ShiinaBNguyễn Thanh HằngonkingCẩm MịcFa CTRẦN MINH HOÀNGhâu DehQuân Tạ MinhTrương Thị Hải Anh
26 tháng 4 2020
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
T
25 tháng 4 2020
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
\(\sqrt{ab}+3\sqrt{bc}+5\sqrt{ca}\le\frac{a+b}{2}+\frac{3\left(b+c\right)}{2}+\frac{5\left(c+a\right)}{2}=3a+2b+4c\)
giải thích tại sao \(\frac{a+b}{2}+\frac{3\left(b+c\right)}{2}+\frac{5\left(c+a\right)}{2}=3a+2b+4c\)đi alibaba Nguyen