Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn thử chứng minh kiểu này đi :
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Mình chứng minh theo cách trên :3
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+c^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
Câu hỏi của Mashiro Rima - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng Bunyakovsky , có :
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{9}{4}.\frac{1}{3}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Ta có :
a2 + b2 + c2
hay(a + b + c)2 = \(\left(\frac{3}{2}\right)^2\)=\(\frac{6}{4}\)
Vậy a2 + b2 + c2 >\(\frac{3}{4}\)
k mk nha
áp dụng bất đẳng thức buinhia
\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\le a^2+b^2+c^2\)
Ta có : \(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)
Tương tự : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) và \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng vế theo vế ta được : \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=9^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\Rightarrow ab+bc+ac\le3\)
Bất đẳng thức ban đầu tương đương với :
\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a\left(b^2+1\right)+b\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+1\right)}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}a\left(b^2+1\right)\ge a.2\sqrt{b^2}=2ba\\b\left(c^2+1\right)\ge b.2\sqrt{c^2}=2cb\\c\left(a^2+1\right)\ge c.2\sqrt{a^2}=2ac\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(b^2+1\right)}+\frac{b^2}{b\left(c^2+1\right)}+\frac{c^2}{c\left(a^2+1\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(ab+bc+ca\le3\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM−GM với mẫu số vì bất đẳng thức sẽ đổi chiều
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)\(\le\)\(\frac{a}{2b}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}\ge\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM−GMcho 2 số 1+b2≥2b ở dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là một cách dùng ngược bất đẳng thức AM−GMAM−GM, một kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ. Nếu không sử dụng phương pháp này thì bất đẳng thức trên sẽ rất khó và dài.
Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức đương tự với b,cb,c rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại suy ra:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)
vì ta có ab+bc+ac≤3. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Với cách làm trên có thể xây dựng bất đẳng thức tương tự với 4 số.
Chúc bạn học tốt!!! k mình nha=))
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(abc=1\Rightarrow\left(abc\right)^2=a^2b^2c^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}=\frac{\left(ca\right)^2}{bc+ba};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\)
=> \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc+ca+ab+ca+ab+bc}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Tiếp tục áp dụng bđt Cauchy với 3 số dương ta được: \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{1}}{2}=\frac{3}{2}\)
=> \(\frac{\left(ab\right)^2}{bc+ca}+\frac{\left(bc\right)^2}{ab+ca}+\frac{\left(ca\right)^2}{ab+bc}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Em có cách này nhưng không biết đúng không.Anh check lại ạ,em mới lớp 7 thôi!
Bổ sung đk a,b,c >= 0 (hay a,b,c không âm)
Áp dụng BĐT Cô si (AM-GM),ta có:
\(a^2+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2.1}{4}}=a\)
Tương tự: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b;c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Hoặc là dùng BĐT Bunhiacopxki chắc cũng được ạ!
Ta có: \(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)
Suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(\frac{9}{4}\right)}{3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Giải:
Ta có:
\(\left(a^2-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)
Tương tự ta cũng có: \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\)
\(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều ta được:
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
Mà \(a+b+c=\frac{3}{2}\) nên \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
du doan a=b=c=1/2
suy ra
a^2+1/4>=2 căn(a^2*1/4)=a
b^2+1/4>=2 căn(b^2*1/4)=b
c^2+1/4>=2 căn(c^2*1/4)=c
suy ra a^2+b^2+c^2 +3/4>=a+b+c=3/2
<=> a^2+b^2+c^2>=3/4 (dpcm)