Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a + b = c + d và a2 + b2 = c2 + d2 . Chứng minh rằng : \(a^{2002}+b^{2002}=c^{2002}+d^{2002}\) .
Ta có: a^2 +b^2 = c^2+d^2<=>a^2-c^2=d^2-b^2
<=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (1)
từ a+b=c+d => a-c=d-b
Thay vào (1) =>(a-c)(a+c)=(a-c)(d+b) (2)
+ Nếu a=c từ a+b=c+d => b=d
=>a^2002+b^2002=c^2002+d^2002
+Nếu a \(\ne\)c thì a - c \(\ne\) 0 từ (2) =>a+c = d+b
mà a+b=c+d => a+c+a+d=d=b+c+d
=>2a=2d=>a=d+>b=c
=>a^2002+b^2002=c^2002+d^2002
Ta có: a2 + b2 = c2 + d2
=>a2-c2=d2-b2
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (1)
Lại có: a + b = c + d
=>a-c=d-b
Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:
a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (II)
Nếu a
c =>bd
=>a-c=d-b0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)
mà: a + b = c + d
cộng hai biểu thức theo vế ta được:
2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d
=>a=d
=>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (I)
Kết luận: với điều kiện đềcho ta luôn có: a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
Ta có: a2 + b2 = c2 + d2
=>a2-c2=d2-b2
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (1)
Lại có: a + b = c + d
=>a-c=d-b
Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:
a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (II)
Nếu ac =>bd
=>a-c=d-b0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)
mà: a + b = c + d
cộng hai biểu thức theo vế ta được:
2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d
=>a=d
=>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (I)
Suy ra với điều kiện đềcho ta luôn có: a2002 + b2002 = c2002 + d2002.
Ta thấy : a+b=c+d => \(\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)
<=> \(a^2+2ab+b^2=c^2+2cd+d^2\)(1)
Mà \(a^2+b^2=c^2+d^2\)(2)
Từ (1)(2) => 2ab=2cd => ab=cd => \(\frac{a}{d}=\frac{c}{b}=k\)
=> a=dk; c=bk
Ta xét : \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
<=> \(\left(dk\right)^2+b^2=\left(bk\right)^2+d^2\)
<=> \(d^2\left(k^2-1\right)=b^2\left(k^2-1\right)\)
<=> \(\left(d^2-b^2\right)\left(k^2-1\right)=0\)
=>\(\left[\begin{array}{nghiempt}d^2-b^2=0\\k^2-1=0\end{array}\right.\)<=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}d=\pm b\\k=\pm1\end{array}\right.\)
Th1 :d=\(\pm b\) mà \(\frac{a}{d}=\frac{c}{b}\)=> a=\(\pm c\)
=> \(d^{2002}=b^{2002};a^{2002}=c^{2002}\)
=> \(a^{2002}+b^{2002}=c^{2002}+d^{2002}\)(3)
Th2: k=\(\pm1\) => a\(=\pm d;c=\pm b\)
=> \(a^{2002}=d^{2002};c^{2002}=b^{2002}\)
=> \(a^{2002}+b^{2002}=c^{2002}+d^{2002}\)(4)
Từ (3)(4)=> đpcm
t
Có a2 + b2 = c2 + d2
=> a2 - c2 = d2 - b2
=> (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)
Mà a + b = c + d
=> a - c = d - b
- Nếu a = c
=> a - c = d - b = 0
=> d = b
=> a2002 = c2002 và d2002 = b2002
=> a2002 + b2002 = c2002 + d2002 (Đpcm)
- Nếu a \(\ne\) c
=> a - c = d - b (\(\ne\) 0)
=> d \(\ne\) b
Có (a - c)(a + c) = (d - b)(d + b)
=> a + c = d + b (1)
Mà a + b = c + d (2)
Lấy (1) + (2) ta được:
2a + b + c = b + c + 2d
=> 2a = 2d
=> a = d
=> c = b
=> a2002 = d2002 và c2002 = b2002
=> a2002 + b2002 = c2002 + d2002 (Đpcm)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4b+y^4a}{ab}=\frac{x^4+y^4+2x^2y^2}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(x^4b+y^4a\right)=ab\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4ab+y^4a^2+x^4b^2+y^4ab=x^4ab+y^4ab+2x^2y^2ab\)
\(\Leftrightarrow y^4a^2+x^4b^2=2x^2y^2ab\Leftrightarrow\left(x^2b-y^2a\right)^2=0\Leftrightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1001}=\left(\frac{y^2}{b}\right)^{1001}\Leftrightarrow\frac{x^{2002}}{a^{1001}}=\frac{y^{2002}}{b^{2011}}\)
Mà: \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1001}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1001}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2002}}{a^{1001}}+\frac{y^{2002}}{b^{1001}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1001}}\left(đpcm\right)\)
\(x^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-x^2\)
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{b.x^4+a.y^4}{ab}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow bx^4+ay^4=\frac{ab}{a+b}\Leftrightarrow bx^4+a\left(1-x^2\right)^2-\frac{ab}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow bx^4+a\left(x^4-2x^2+1\right)-\frac{ab}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^4-2ax^2+a-\frac{ab}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^4-2ax^2+\frac{a^2}{a+b}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[x^4-2.x.\frac{a}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(x^2-\frac{a}{a+b}\right)=0\Rightarrow x^2=\frac{a}{a+b}\) (do \(a+b\ne0\))
\(\Rightarrow y^2=1-x^2=\frac{b}{a+b}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{x^2}{a}=\frac{a}{a\left(a+b\right)}=\frac{1}{a+b}\) ; \(\frac{y^2}{b}=\frac{b}{b\left(a+b\right)}=\frac{1}{a+b}\)
Thay vào bài toán:
\(\frac{x^{2002}}{a^{1001}}+\frac{y^{2002}}{b^{1001}}=\left(\frac{x^2}{a}\right)^{1001}+\left(\frac{y^2}{b}\right)^{1001}=\left(\frac{1}{a+b}\right)^{1001}+\left(\frac{1}{a+b}\right)^{1001}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1001}}\)
Bạn nào trả lời bài này nhanh nhất thì add vs mk , mk sẽ tặng 1 thẻ điện thoại 50k cho 2 bạn trả lời nhanh nhất nhé!
Nhanh các bạn ơi!!!
Hứa k bùng đâu
b)Ta có: \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)
\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)
\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)
và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)
\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)
\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)
Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)
Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)
nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)
Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1
a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
Ta có: a2 + b2 = c2 + d2
=>a2-c2=d2-b2
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (1)
Lại có: a + b = c + d
=>a-c=d-b
Nếu a=c => b=d hiễn nhiên biểu thức:
a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (II)
Nếu ac =>bd
=>a-c=d-b0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (a-c, d-b khác không nên ta có thể đơn giản)
mà: a + b = c + d
cộng hai biểu thức theo vế ta được:
2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d
=>a=d
=>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a2002 + b2002 = c2002 + d2002 đúng. (I)
Kết luận: với điều kiện đềcho ta luôn có: a2002 + b2002 = c2002 + d2002.