Question

[Mai Linh]

cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3/2

tính giá trị nhỏ nhất của M=4(a^2+b^2+c^2)

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Ta có

\(\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)^2=\frac{9}{16}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow M=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\)

Đạt được khi: \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Tiên Thị Mỹ Tâm]

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)  (1)

\(b^2+c^2\ge2bc\) (2)

\(a^2+c^2\ge2ac\) (3)

Cộng từng vế (1);(2);(3)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\)

Dấu "=" xãy ra<=>a=b=c=1/2

vậy MinM=3<=>a=b=c=1/2