Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{a) }\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}\right)^2\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left[\overrightarrow{MA}+\frac{5}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right]\left[\overrightarrow{MA}-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\right]=0\)
Gọi I là trung điểm BC
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MI}\right)\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MI}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MI}=0\\\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MI}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=-5\overrightarrow{MI}\\\overrightarrow{IA}=0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M;A;I\text{ thẳng hàng },M\text{ nằm giữa }AI\text{ và }MA=5MI\\I\equiv A\end{matrix}\right.\)
Vậy với A là trung điểm BC thì M tùy ý.
Với A không là trung điểm BC thì \(M;A;I\text{ thẳng hàng },M\text{ nằm giữa }AI\text{ và }MA=5MI\)
\(\text{b) }\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\\ \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right)^2-\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\right)=0\)
Gọi D là trung điểm AC
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{BD}=0\\\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{BD}\\\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{BD}\\\overrightarrow{MC}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}MA//BD;MA=2BD\\M\equiv C\end{matrix}\right.\)
Vậy......
a) Ta có \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}\)
⇒\(\left|\overrightarrow{MG}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\)
⇒ M là điểm trên đường tròn tâm G bk là AB
d, Lấy P, Q sao cho \(4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0};2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có \(\left|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\text{ }\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|=\left|4\overrightarrow{MP}\right|=4MP\)
\(\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\text{ }\left|2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}\right|=0\)
\(\Rightarrow4MP=0\Rightarrow M\equiv P\)
Gọi G là trọng tâm tam giác, I là trung điểm BC, N là trung điểm của AC
a, Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)
\(\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)
\(\Rightarrow MG=MI\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực của BC
b, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MN}\right|=2MN\)
\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\)
\(\Rightarrow2MN=BA\Rightarrow M\in\left(N;\frac{BA}{2}\right)\)