Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{bc+c+1}\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ca+a+1}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
A=\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)+\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\)+\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ta có: \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)=\(\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
vì : a2+b2\(\ge\)2\(\sqrt{a^2b^2}\)=2ab
b2+1\(\ge\)2\(\sqrt{b^2x1}\)=2b
cmtt => A\(\le\)\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{1}{bc+c+1}\)+\(\frac{1}{ca+a+1}\))
=\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}\)+\(\frac{b}{cba+ab+b}\))
=\(\frac{1}{2}\)x (\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab+b+1}\)+\(\frac{b}{ab+b+1}\))=\(\frac{1}{2}\)x\(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Do abc=1nên ta được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}=\frac{abc}{ab+b+abc}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ca+a+1}\)\(=\frac{ac}{1+a+ac}+\frac{a}{1+ac+a}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Hình như shi thiếu bước đầu =)))
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ca+a+1}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)=\frac{1}{2}\) Vì abc=1
Bài này chả khó với lại đầy người đăng rồi
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\) và \(b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:
\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}=VP\) (ĐPCM)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Làm tạm vào đây vậy
từ gt dễ dàng => \(ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng cô si ta có
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Tương tự như vậy rồi ccộng vào nhá nhok
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1^2\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}\)
chứng minh tương tự
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\)
\(=\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{ac+a+1}{ac+a+1}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.1=2\)
=>đpcm
\(BDT\LeftrightarrowΣ\frac{a^2}{a+b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng BDT C-S dạng Engel ta có:
\(Σ\frac{a^2}{a+b^2}=\text{ }Σ\frac{a^4}{a^3+a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\)
Vậy đi chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Hay \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)Σ\left(a^3+b^2c^2\right)\)
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=3u\\ab+ac+bc=3v^2\\abc=w^3\end{cases}}\)
Bởi vì điều kiện không phụ thuộc vào \(w^3\), ta thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức tuyến tính của \(w^3\), đủ để chứng minh rằng bất đẳng thức cuối cùng đạt một giá trị cực đại là \(w^3\), xảy ra trong trường hợp hai biến bằng nhau hoặc có thể cho \(w^3\rightarrow0^+\)
Sau khi biến đổi đồng nhất ta cần chứng minh.
\(\left(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge3\left(a+b+c\right)^2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)^2\)
*)\(b=c=1\) Ta được
\(\left(a-1\right)^2\left(a^8-2a^7+17a^6-8a^5+75a^4-10a^3+73a^2-4a+20\right)\ge0\) ( hiển nhiên đúng)
*)\(w^3\rightarrow0^+\) để \(c\rightarrow0^+\) và \(b=1\), ta đc:
\(a^{10}-2a^9+10a^8-12a^7+26a^6-26a^5+26a^4-12a^3+10a^2-2a+1\ge0\)( cũng đúng)
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath