Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt ab + bc + ca = q; abc = r. Ta có:
\(A=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+27}{abc+3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)+27}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(A=\dfrac{q+33}{r+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\).
Theo bất đẳng thức Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\Leftrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}\).
Từ đó \(A\le\dfrac{q+33}{\dfrac{4q-1}{9}+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{27q^2+860q-323}{93q^2+969q}\)
\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{10}=\dfrac{\left(3q-1\right)\left(121q+3230\right)}{30q\left(31q+323\right)}\le0\). (Do \(q=ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\))
\(\Rightarrow A\leq \frac{-1}{10}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Ta có:
\(\sum\dfrac{ab+c}{c+1}=\sum\dfrac{ab+c}{a+c+b+c}\le\sum\dfrac{ab+c}{4}.\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1\)
Ta có : \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+c\left(a+b+c\right)}{c+a+b+c}=\frac{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}{c+a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c+a+b+c}\)
Do \(a;b;c>0\Rightarrow a+c;b+c>0\)
Áp dụng BĐT phụ : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) , ta có :
\(\frac{ab+c}{c+1}\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{4}.\frac{a+b+c+c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{c+1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự , ta có : \(\frac{bc+a}{a+1}\le\frac{a+1}{4}\) ; \(\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : \(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{a+1+b+1+c+1}{4}=\frac{a+b+c+3}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy ...
