Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(=\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{a}+a-a-b-c\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}+2\sqrt{\frac{b^2c}{c}}+2\sqrt{\frac{c^2a}{a}}-a-b-c\)
\(=2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engle ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\left(đpcm\right)\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\ge6\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi \(a=b=c=1\left(đpcm\right)\)
áp dụng BĐT sacxo nên \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
Vì a+b+c=1 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)=2+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
Do đó
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab}\right)+\left(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{bc}\right)+\left(\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\cdot\frac{a^2+b^2}{ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{c^2+b^2}\cdot\frac{c^2+b^2}{bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{a^2+c^2}+\frac{c^2+a^2}{ca}}+\frac{3}{4}\)
\(=2\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{15}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
1) Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) :
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
\(BDT\LeftrightarrowΣ\frac{a^2}{a+b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng BDT C-S dạng Engel ta có:
\(Σ\frac{a^2}{a+b^2}=\text{ }Σ\frac{a^4}{a^3+a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\)
Vậy đi chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{Σa^3+a^2b^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Hay \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a+b+c\right)Σ\left(a^3+b^2c^2\right)\)
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=3u\\ab+ac+bc=3v^2\\abc=w^3\end{cases}}\)
Bởi vì điều kiện không phụ thuộc vào \(w^3\), ta thấy rằng bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức tuyến tính của \(w^3\), đủ để chứng minh rằng bất đẳng thức cuối cùng đạt một giá trị cực đại là \(w^3\), xảy ra trong trường hợp hai biến bằng nhau hoặc có thể cho \(w^3\rightarrow0^+\)
Sau khi biến đổi đồng nhất ta cần chứng minh.
\(\left(2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge3\left(a+b+c\right)^2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)^2\)
*)\(b=c=1\) Ta được
\(\left(a-1\right)^2\left(a^8-2a^7+17a^6-8a^5+75a^4-10a^3+73a^2-4a+20\right)\ge0\) ( hiển nhiên đúng)
*)\(w^3\rightarrow0^+\) để \(c\rightarrow0^+\) và \(b=1\), ta đc:
\(a^{10}-2a^9+10a^8-12a^7+26a^6-26a^5+26a^4-12a^3+10a^2-2a+1\ge0\)( cũng đúng)
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
áp dụng BĐT Svacxơ cho 3 số lẩ luô