Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)(1)
Đặt a + b + c - 3 = x
Vì a,b,c > 1 => x > 0
=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{\left(x+3\right)^2}{x}=\frac{x^2+6x+9}{x}=x+6+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}+6=12\)( AM-GM )
=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\)
=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 3 => a=b=c=2
Ta có: \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\) với \(a;b;c>1\)
Thật vậy, do \(a;b;c>1\Rightarrow a+b+c-3>0\) biến đổi tương đương ta có:
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge12\left(a+b+c-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-12\left(a+b+c\right)+36\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-6\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4a\)
tương tụ,,,rồi cộng vô
Vì a,b,c là các số tự nhiên lớn hơn 0 nên không mất tính tổng quát , ta giả sử \(a\ge b\ge c\ge1\)
Cần chứng minh \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)
bđt \(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+abc}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+abc}\right)+\left(\frac{1}{1+c^2}-\frac{1}{1+abc}\right)\ge0\)
Ta sẽ chứng minh mỗi biểu thức trong ngoặc đều không nhỏ hơn 0.
Ta xét : \(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+abc}=\frac{1+abc-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+abc\right)}=\frac{a\left(bc-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+abc\right)}\)
Vì \(a\ge b\ge c\ge1\)nên \(\frac{a}{b}\ge1,\frac{1}{c}\le1\Rightarrow\frac{a}{bc}\le1\Rightarrow bc\ge a\Rightarrow bc-a\ge0\Rightarrow a\left(bc-a\right)\ge0\)
Do đó \(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+abc}\ge0\)(1)
Tương tự với các biểu thức trong các ngoặc còn lại , ta cũng có \(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+abc}\ge0\)(2)
\(\frac{1}{1+c^2}-\frac{1}{1+abc}\ge0\)(3)
Từ (1), (2), (3) ta có đpcm.
\(\frac{3}{ab+bc+ca}=\frac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
áp dụng hệ quả bun nhi a ta có: \(A\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+ab+bc+ca}\)\(\ge\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=12\)
bằng khi a=b=c=1/3
tạ duy phương:
\(\frac{a_1^2}{x_1}+\frac{a^2_2}{x_2}\ge\frac{\left(a_1+a_2\right)^2}{x_1+x_2}\)tương tự áp dụng cho nhiều số
áp dụng bất đẳng thức côsi
\(\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}\cdot4\left(b-1\right)}=4a\)
\(\frac{b^2}{c-1}+4\left(c-1\right)\ge4b\)
\(\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge4c\)
cộng vế theo vế
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}+4\left(a-1\right)+4\left(b-1\right)+4\left(c-1\right)\ge4a+4b+4c\)
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge4\left(a+b+c\right)-4\left(a+b+c\right)+4\cdot3=12\)(đpcm)
Cách khác:
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)-3}\)
Đặt \(a+b+c=x>3\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{x^2}{x-3}\ge12\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-6\right)^2}{x-3}\ge0\)(đúng)
Vậy ta có điều phải chứng minh