Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)
\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)
Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)
Do a ,b , c > 0
\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{2bc}{2abc}+\frac{2ac}{2abc}-\frac{2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy ...
Ta có:\(\left(a+b-c\right)^2\ge0\)(với a,b,c > 0)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
<=> \(bc+ac-ab\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{5}{6}< 1\)
Chia 2 vế của bđt cho abc >0 ta dc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Với mọi \(a,b,c\in R\)thì ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)*
Ta cần chứng minh * là BĐT đúng
Từ * \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow"a+b-c"^2\ge0\)**
BĐT ** hiển nhiên đúng với mọi a,b,c, mà các phép biến đỗi trên tương tự:
Do đó, BĐT * được chứng minh
Xảy ra đẳng thức trên khi và chỉ khi \(a+b=c\)
Mặt khác
\(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)theo giả thiết
Mà: \(\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}< 2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)***
Từ * và *** kết hợp lại ta có thể viết " kép " lại được: \(2bc+2ca-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
Suy ra: \(2bc+2ca-2ab< 2\)
Khi đó, vì abc > 0 do a,b,c ko âm nên chia cả hai vế cho bất đằng trên cho 2abc, ta được:
\(\frac{2bc+2ca-2ab}{2abc}>\frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy: với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điểu kiện \(a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}\)thì ta chứng minh được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
P/s:....
Buffalo way!
\(\Leftrightarrow\frac{7}{5}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\) (đồng bậc 2 vế)
\(\Leftrightarrow7\left(bc+a\left(c-b\right)\right)\le5\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta có:\(VP-VT=5a^2+\left(b-c\right)a+5b^2+5c^2-7bc\)
\(=\frac{\left(10a+b-c\right)^2+99\left(b-\frac{69c}{99}\right)^2+\frac{560}{11}c^2}{20}\ge0\)
qed./.
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)