Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2a)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+b+a+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\\\dfrac{1}{a+2b+c}=\dfrac{1}{a+b+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}=\dfrac{1}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ( đpcm )
Vì \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Mà \(VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
2b)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a^2\ge2\sqrt{a^2}=2a\\1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\\1+c^2\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{b}{2b}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{c}{2c}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 1)
Nháp : nhìn nhanh ta thấy nên áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Giải
Vì x,y > 0 =) 2x + y > 0 , x + 2y > 0
Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức cho hai bộ số không âm \(\dfrac{1}{2x+y}\)và\(\dfrac{1}{x+2y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+y}\ge\dfrac{4}{x+2y+2x+y}=\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}=4\)
Dấu '' = "xảy ra khi và chỉ khi x + 2y = y + 2x (=) x=y
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ( Tự chứng minh BĐT này ), ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{1}{\dfrac{4}{a+b}}=\dfrac{a+b}{4}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{b+c}{4}\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{c+a}{4}\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(P\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Có gì đâu nhỉ?
Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{4,5}{a+b+c}>\dfrac{3}{a+b+c}\)
áp dụng BĐT cauchy- schwarz ta có
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
⇔ \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{3}{a+b+c}\) (đpcm)
Bài 1:a,b,c ba cạnh tam giác => a,b,c dương
\(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a+b>c\\b+c>a\end{matrix}\right.\) ta có: \(\dfrac{x}{y}< \dfrac{x+p}{y+p}\forall_{x,y,p>0\&x< y}\)
\(VT=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b}{c+a}< \dfrac{a+c+c}{a+b+c}+\dfrac{b+b}{a+b+c}=\)
\(=\dfrac{a+b+c+b+c}{a+b+c}< \dfrac{\left(a+b+c\right)+\left(A+b+c\right)}{a+b+c}< \dfrac{2\left(b+a+c\right)}{a+b+c}=2=VP\)
p/s: đề sao làm vậy:
mình nghi đề phải thế này: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\) cách làm đơn giản hơn
giả sử \(\dfrac{a+b}{2a-b}\dfrac{c+b}{2c-b}< 4\)
\(< =>\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4< 0\)
\(< =>\dfrac{2ac-ab+2bc-b^2+2ac-bc+2ab-b^2-2bc+4b^2+4ac-2ab}{4ac-2ab-2bc+b^2}< 0\)
<=> \(\dfrac{8ac-bc-ab+2b^2}{4ac-2\left(ab+bc\right)+b^2}< 0\)
\(\left(do\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}< =>\dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{2}{b}< =>ab+bc=2ac\right)\)
<=> \(\dfrac{8ac-2ac+2b^2}{b^2}< 0< =>\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}< 0\)
mà a,b,c là số dương theo giả thiết nên \(\dfrac{6ac+2b^2}{b^2}\)không thể bé hơn 0
=> giả sử sai => \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}-4\) phải lớn hơn hoặc bằng 0
=> \(\dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\) lớn hơn hoặc bằng 4 (Đpcm)
mình nghĩ nếu giải bám sát thì sẽ xác thực hơn là giải sử vậy cách giải nên chỉ tính cái cần cm minh rồi đổi vế rồi dựa vào điều kiện người ta cho thì hay hơn