Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
tổng lại sẽ>1
Dễ thấy a,b,c là độ dài của tam giác nên
a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c+a-b > 0
Theo Cauchy-Schwarz thì
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1
Ta có: Vì chu vi của tam giác là 3 nên a + b + c = 3
Xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(2VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=b+c-a\\y=a+c-b\\z=a+b-c\end{cases}}\left(x;y;z>0\right)\).Ta có:
\(x+y=b+c-a+a+c-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
\(y+z=a+c-b+a+b-c=2a\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\)
\(z+x=a+b-c+b+c-a=2b\Rightarrow b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(A=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2A=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge6\) (BĐT AM-GM)
\(\Rightarrow A\ge\frac{6}{2}=3\).Dấu "=" khi a=b=c
Ta có : a+b > c , b+c > a , c+a > b
Xét : \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+a}=\frac{2}{a+b+c}>\frac{2}{a+b+a+b}=\frac{1}{a+b}\)
Tương tự , ta cũng có : \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}>\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}>\frac{1}{b+c}\)
Vậy ta có đpcm
Chú ý : a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứ không phải a+b,b+c,c+a nhé :)
cô-s 3 số luôn a+b+c >= 3 nhân căn bậc ba (abc)
sử dụng bđt :(x+y)(y+z)(z+x) >= 8xyz (x,y,z>0)
rồi c/m (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) >= abc (đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z) là xong