K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 8 2017

Ta có : \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(1)

CM tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng vế với vế của (1);(2);(3) lại ta được :

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

NV
25 tháng 5 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)

Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương

Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

3 tháng 4 2020

\(VP-VT=\frac{\left(a-b\right)^2}{2b\left(a^2+b^2\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2a\left(b^2+c^2\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{2b\left(c^2+a^2\right)}\)

4 tháng 4 2020

Xấu hơn, nhưng khủng hơn:

kzxIqYx.png

30 tháng 11 2017

Giả sử cả ba BĐT đều đúng, khi đó a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164

Nhưng theo BĐT CauChy thì a(1−a)≤(a+1−a2)2=14a(1−a)≤(a+1−a2)2=14, tương tự ta có

a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164, mâu thuẩn

Giả sử a(1-b),b(1-c),c(1-a)>1/4 

=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)>(1/4)3

=> a(1-a).b(1-b).c(1-c)>(1/4)^3 

Ta có a(1-a)=1/4-(1/2-a)2<1/4 

CMTT b(1-b), c(1-c) <1/4 

=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)<(1/4)3 trái với giả sử  

=> 1 trong các BĐT sai