P
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 1 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(VT=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)
6 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
BT\(\ge\)\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)\(=1+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
Ta lại có ab+bc+ac =< (a+b+c)^2/3 =3
\(\Rightarrow BT\ge1+\frac{7}{3}=\frac{10}{3}\)
Vậy GTNN là \(\frac{10}{3}\)khi a=b=c=1
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
triển khai vế đầu đi