Question

[Trần Lê Kim Mai]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn :a.b.c=1

CM:a²+b²+c² _>a+b+c

Answer 1

[tthnew]

Cách 1:

Ta có: \(VT-VP\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)\ge0\) (do \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\))

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Cách 2:Đổi biến" \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)

Cách 3: Dùng P,Q,R

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}p=a+b+c\ge3\left(\text{vì abc = 1}\right)\\q=ab+bc+ca\ge3\left(\text{vì abc = 1, theo Cô si}\right)\\r=abc=1\end{matrix}\right.\)

Quy về: Cho \(p,q\ge3;r=1\). Chứng minh:

\(p^2-2q\ge p\). Ta biết rằng \(2q=2\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{2}{3}p^2\)

Do đó \(p^2-2q\ge\frac{1}{3}p^2\). Cần chứng minh \(\frac{1}{3}p^2\ge p\Leftrightarrow p\left(\frac{p-3}{3}\right)\ge0\) (đúng do p >= 3)

Vậy ta có đpcm.

P/s: đúng ko ta?