Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT 1 sai ngay với \(a=\sqrt{0,1},b=\sqrt{0,2},c=\sqrt{2,7}\)
BĐT 2 tương đương với đi chứng minh \(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq 3a^2b^2c^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2\)
Tương tự \(b^4c^4+c^4a^4\geq 2b^2c^4a^2,a^4b^4+c^4a^4\geq 2a^4b^2c^2\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2\)
Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
thì ra cái đầu sai nghĩ mãi ko ra, đại ca thông minh thật :v
Lời giải:
Áp dụng bđt AM-GM:
\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)
Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).
Cách CM:
\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a/ (2a+3b)^2 = (2a)^2+2.2a.3b+(3b)^2 = 4a^2+12ab+9b^2
b/ ta nhân đa thức với đa thức thì kết quả sẽ = -9a^2+25
c/ (x^2-3y)^2= (x^2)^2-2.x^2.3y+(3y)^2= x^4-6x^2y+9y^2
Lời giải:
Bài này bạn có thể sử dụng BĐT Holder bậc 3.
BĐT Holder: \((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)
Cách CM: Sử dụng AM-GM:
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3amx}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)}}\)
Làm như vậy với các phân thức tương tự và cộng theo vế ta thu được đpcm
(Thực ra vì nó kinh điển rồi nên đi thi không phải cm đâu)
Bây giờ sử dụng BĐT Holder bậc 3 cho bài toán:
\((a^3+b^3+c^3)(a^3+b^3+c^3)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^3\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 81\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3\)
P/s: Bạn NHT toàn thích dùng dao mổ trâu để xẻ thịt gà vv
Lời giải:
Đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
Ta có \(A=(a-\frac{ab^2}{1+b^2})+(b-\frac{bc^2}{1+c^2})+(c-\frac{ca^2}{1+a^2})=3-\left ( \frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2} \right )\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(A\geq 3-\left ( \frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{3a} \right )=3-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\)
Cũng theo AM-GM
\(9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu $=$ xảy ra khi \(a=b=c=1\)