Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)
Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi.
Chứng minh các khác:
Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (@)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)
Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@)
=> (2) đúng
Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\) ; \(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\) ; \(\frac{c^2}{a}+a\ge2a\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
#)Giải :
Áp dụng BĐT Cauchy : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\\\frac{b}{1+c^2}=b-\frac{bc^2}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\\\frac{c}{1+a^2}=c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Theo BĐT AM-GM:
\(\frac{a}{1+b^2}\)=a-\(\frac{ab^2}{1+b^2}\)\(\ge\)a-\(\frac{ab^2}{2b}\)=a-\(\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\)\(\ge\)b-\(\frac{bc}{2}\);\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)c-\(\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}\)+\(\frac{b}{1+c^2}\)+\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)a+b+c-\(\frac{1}{2}\)(ab+bc+ca)
Mặt khác thì theo BĐT AM-GM:9=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=\(\frac{a^2+b^2}{2}\)+\(\frac{b^2+c^2}{2}\)+\(\frac{c^2+a^2}{2}\)+2(ab+bc+ca)\(\ge\)3(ab+bc+ca)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2}\)(ab+bc+ca)\(\le\)\(\frac{3}{2}\)
Cho nên \(\frac{a}{1+b^2}\)+\(\frac{b}{1+c^2}\)+\(\frac{c}{1+a^2}\)\(\ge\)a+b+c-\(\frac{3}{2}\)=3-\(\frac{3}{2}\)=\(\frac{3}{2}\)
a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.
d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c
e,Xét hiệu :
\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\) => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.
=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+ac+bc\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)
Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .
Mình dùng ''AM-GM ngược dấu'' như sau
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự với các phân thức khác rồi cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)=3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{2}\right)\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM \(9=\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{3}{2}\)
Vậy \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
+) cm: \(\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2}\)
\(\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
Cộng theo vế:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1