Cho a,b,c dương. CMR: a/b+b/c+c/a>a+b+c (sử dụng Bất đẳng thức cô si)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

VI

VN in my heart

26 tháng 6 2016 - olm

Cho a,b,c dương. CMR: a/b+b/c+c/a>a+b+c (sử dụng Bất đẳng thức cô si)

1

HN

Hiếu Nguyễn

26 tháng 6 2016

Áp dụng bdt Cô-si:

\(\frac{a}{b}+ab\ge2a\)

\(\frac{b}{c}+bc\ge2b\)

\(\frac{c}{a}+ac\ge2c\)

Cộng 2 vế của 3 bdt ta được:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+ab+bc+ac\ge2a+2b+2c\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge2a+2b+2c-ab-bc-ac\)

Mặt khác vì a,b,c là các số dương nên hiển nhiên ab+bc+ac>a+b+c

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}>a+b+c\)

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NV

Nguyễn Việt Đức

26 tháng 6 2016 - olm

Cho a,b,c dương. CMR: a/b+b/c+c/a>a+b+c (sử dụng Bất đẳng thức cô si)

0

NV

Nguyễn Việt Đức

26 tháng 6 2016 - olm

Cho a,b,c dương. CMR: a³/b+b³/c+c³/a>ab+bc+ca (sử dụng BĐT cô si)

2

LT

Lê Trọng

26 tháng 6 2016

áp dụng cô si ta có
a³/b + ab ≥ 2a²
b³/c + bc ≥ 2b²
c³/a + ac ≥ 2c²
+ + + 3 cái lại
=> a³/b + b³/c + c³/a ≥ 2a² + 2b² + 2c² - ab - ac - bc
mặt khác ta có
ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² (cái này chứng minh dễ dàng nhé)

NV

Nguyễn Việt Đức

26 tháng 6 2016

Cảm ơn bạn nhé

LD

Lê Đức Anh

17 tháng 3 2019 - olm

chứng minh bất đẳng thức:.1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)

Ko áp dụng bđt cô-si có làm đc ko mn (ko giải cách lớp 9 nha). Ai có câu trả lời chính xác mình cho 3 tk.

9

CT

Cố Tử Thần

17 tháng 3 2019

nhân chéo lên

nhân a+b+c từ 9/a+b+c sang vế trái

vế phải còn 9

sau đó nhân vế trái ra

sử dụng bdt cosi là ra nha bn

R

✰๖ۣۜRεɗ♜๖ۣۜSтαɾ✰☣

17 tháng 3 2019

mik lớp 7 sory

NT

Nguyễn Tom

19 tháng 6 2020 - olm

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge a+b+c.\left(a,b,c>0\right)\)

CHỨNG MINH THEO BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI GIÙM MIK VỚI!!!!

2

EC

Edogawa Conan

19 tháng 6 2020

CM theo bdt co-si

Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a²/c và c

Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)

CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)

\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)

Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:

\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)

<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)

NL

Nguyễn Linh Chi

19 tháng 6 2020

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

BN

Bích Ngọc Vũ

20 tháng 11 2016 - olm

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3. Cmr:

a^3/(b+c)^2 + b^2/(c+a)^2 + c^3/(a+b)^2 >= 3/4

Thks nhiều nha

0

VQ

Văn Quyết

30 tháng 3 2017

a;b>0 áp dụng bất đẳng thức 1/a + 1/b >=4/a+b .CMR 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>= 2(1/2a+b+c+1/a+2b+c+1/a+b+2c)
giúp mik vs

2

TH

Trần Hữu Tuyển

30 tháng 3 2017

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}\)

\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)

\(\Rightarrow2\dfrac{1}{a+b}+2\dfrac{1}{b+c}+2\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge2\left(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\right)\left(ĐPCM\right)\)

NB

Nhók Bướq Bỉnh

30 tháng 3 2017

Ta có a,b>0, áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm:
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta có : (1/a+1/b)/2>=v(1/a*1/b)
=>1/a + 1/b >= 2*1/v(a*b)
mà v(a*b)<=(a+b)/2
=> 2*1/v(a*b) >= 2*1/((a+b)/2) = 4(a+b)
=>1/a + 1/b >= 4(a+b) (đpcm).
Cmr: 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)>=2(1/(2a+b+c) + 1/...
chú ý: MÌNH DÙNG CHỮ v TƯỢNG TRƯNG CHO DẤU CĂN.
ta cũng áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm:
1/(a+b) + 1/(b+c) >=2*1/(v(a+b)*(a+c))
tương tự với 1/(a+b) + 1/(b+c) >= 2*1/(v(a+b)*(b+c))
tương tự với 1/(a+c) + 1/(b+c) >= 2*1/1/(v(a+c)*(b+c))
=>2(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c))>=2*[1/(v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+... (1)
mà v((a+b)*(a+c))<=(a+b+a+c)/2=(2a+b+c)
=>1v(a+b)*(a+c)>=2(2a+b+c)
tương tự ta có 1v(a+b)*(b+c)>=2(2b+a+c)
=> 1/[v(a+b)*(a+c))+v(a+b)*(b+c))+1/(v(a+b)... >=2[1/(2a+b+c) + 1/(2b+a+c) + 1/(2c+a+b)] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.

tương tự ta có 1v(a+c)*(b+c)>=2(2c+a+b)

NT

Nguyễn Tom

19 tháng 6 2020 - olm

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\left(a,b,c>0\right)\)

CHỨNG MINH THEO BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI GIÙM MIK VỚI!!!

1

NL

Nguyễn Linh Chi

19 tháng 6 2020

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)

\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

TT

Trần Thị Thanh Thủy

14 tháng 12 2017

cho a,b,c dương chứng minh( (-a+b+c)/2a)+((a-b+c)/2b)+((a+b-c)/2c)>=3/2
giúp mik vs ạ(bất đẳng thức lớp 8 ạ)

0

S

Sherry

7 tháng 3 2018 - olm

cho a,b,c >0

CMR \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

Chứng minh bằng 2 cách

C1: bất đẳng thức Cauchy

C2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki

1

NT

Nguyễn Tiến Dũng

11 tháng 3 2018

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\) (1)

CMTT ta được

\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\) (2)

\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\) (3)

Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\) (*)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Thay vào pt (*) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)

k tớ nha !!!