LP
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LP
2
16 tháng 2 2018
Cách lầy nèk
\(Q=\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{a}{2\sqrt{2a}}+\frac{b}{2\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}\)
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{\frac{b}{2}}}{2\sqrt{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}}\le\frac{\frac{a+\frac{1}{2}}{2}+\frac{b+\frac{1}{2}}{2}}{2}=\frac{a+b+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
LA
16 tháng 2 2018
Có a+b =1
Áp dụng bất đẳng thức cô-si
=> ab= \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
<=> ab= \(\frac{1}{2}\)
P=\(\frac{\left(ab+a+ab+b\right)}{\left(ab+a+b+1\right)}\)
= \(\frac{\left(2ab+1\right)}{\left(ab+2\right)}\)
=\(\frac{\left[\left(2ab+4\right)-3\right]}{\left(ab+2\right)}\)
=\(2+\left[\frac{-3}{\left(ab+2\right)}\right]\)
Có ab = \(\frac{1}{2}\)
\(ab+2\Leftarrow\frac{5}{2}\)
\(\frac{1}{\left(ab+2\right)}\ge\frac{2}{5}\)
\(\frac{-1}{\left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-2}{5}\)
\(\frac{-3}{ \left(ab+2\right)}\Leftarrow\frac{-6}{5}\)
=> GTLN = \(\frac{-6}{5}+2=\frac{4}{5}\) tại \(a=b=\frac{1}{2}\)
19 tháng 8 2019
Lời giải :
\(P=\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\)
\(P=\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{9}{a+b+b}+\frac{9}{b+c+c}+\frac{9}{c+a+a}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)ta có :
\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{c}+\frac{2}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\cdot9=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
19 tháng 8 2019
Theo Cauchy: \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy..
TM
2
29 tháng 5 2020
Áp dụng bđt cô si ta có:
\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(b^2+2c^2+3\ge2\left(bc+c+1\right)\)
\(c^2+2a^2+3\ge2\left(ac+a+1\right)\)
=> \(M\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{bcab+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}\)
29 tháng 5 2020
Bổ sung:
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy GTLN của M = 1/2 tại a = b = c = 1.
7 tháng 4 2017
Ta có:
\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{4a}=\frac{1}{b^2-2b}\)
\(\Leftrightarrow13b^2-26b-12a=0\)
\(\Leftrightarrow12\left(a+b\right)=13b^2-14b\)
\(\Leftrightarrow a+b=\frac{13b^2-14b}{12}\)
\(\Leftrightarrow a+b=b^2-b+\frac{b^2-2b}{12}=b^2-b+\frac{b\left(b-2\right)}{12}\)
Dễ thấy b phải là số chẵn (1)
để \(\frac{b\left(b-2\right)}{2.2.3}\) nguyên thì
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b⋮3\\b-2⋮3\end{cases}}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=6k\\b-2=6k\end{cases}\left(k\ge1\right)}\)
Với \(b=6k\) thế vào ta được
\(a+b=\frac{13\left(6k\right)^2-14.\left(6k\right)}{12}=36k^2-7k\)
Dễ thấy hàm số \(f\left(k\right)=39k^2-7k\) là hàm đồng biết với \(k\ge1\)
Từ đây ta có a + b nhỏ nhất khi k nhơ nhất hay \(k=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=6\\a=26\\a+b=32\end{cases}}\)
Tương tự cho trường hợp \(b-2=6k\) sẽ tìm được GTNN của a + b
PS: Vì m thích làm sự đơn điệu của hàm số thôi. Nếu các b có cách khác thì cứ làm cho gọn nhé :)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\sum\frac{1}{x^2+2y^2+3}=\sum\frac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}\le\frac{1}{2}\sum\frac{1}{xy+y+1}=\frac{1}{2}\)
\(P_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
23 tháng 12 2017
Ta có : \(p=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4ac}\ge4\sqrt{\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}.\frac{a+c}{4ac}}=\frac{1}{b}\)
\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}.\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)
Cộng vế với vế ta được \(p+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow p+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow p\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{2a.2b.2c}}=\frac{3}{\sqrt[3]{8abc}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
N
19 tháng 8 2020
Xét: \(\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\frac{bc}{a\cdot abc\cdot\frac{1}{c}+a\cdot abc\cdot\frac{1}{b}}=\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{ca}{b^2c+ab^2}=\frac{c^2a^2}{ab+bc}\\\frac{ab}{c^2a+bc^2}=\frac{a^2b^2}{ca+bc}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)
Ta thấy\(\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\) có dạng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Bước cuối Cô-si ba số và kết hợp điều kiện abc=1 là xong
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có :
\(\frac{a}{1+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{1}+\frac{a}{2a}\right)=\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{1}+\frac{b}{2b}\right)=\frac{1}{4}\left(b+\frac{1}{2}\right)\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{1+2a}+\frac{b}{1+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+1\right)=\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(\frac{a}{1}+\frac{a}{2b}\ge\frac{\left(2a\right)^2}{1+2b}=\frac{4a^2}{1+2b}.\)
hùng sai nhé phải là căn A nhé