Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Áp dụng BĐt cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\ge\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3x+3y}=4\)
dấu = xảy ra khi 2x+y=x+2y <=> x=y
Bài 2:
ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{4^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)(theo BĐt cauchy-schwarz)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b+c+d}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
Áp dụng BĐT trên vào bài toán ta có:
\(A=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)\(A\le\dfrac{1}{16}.4\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
......
dấu = xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:
\(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
thiết lập tương tự:\(\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{c}{c^2+1}\le\dfrac{1}{2}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương ,cộng vế với vế,ta có dpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
1) xét hiệu
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)
<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0
<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0
<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0
<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\ge (1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geq \frac{4c}{a+b}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{4a}{b+c}; \frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq \frac{4b}{a+c}\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) = 4/(a+b+c)
=> [1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)](a+b+c) = 4
=> 3 + c/(a+b) +a/(b+c) + b/(c+a) = 4
=> [3 + c/(a+b) + a/(b+c) + b/(c+a)](a+b+c) = 4(a+b+c)
=> 3(a+b+c) + c + c2(a+b) + a + a2(b+c) + b + b2(c+a) = 4(a+b+c)
=> a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) = 0
Ko cần cảm ơn, mik giúp bạn chỉ vì mik đang sắp rơi vào danh sách học sinh dốt của hoc24h ^^
꧁༺ml78871600༻꧂