Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{b}=\frac{a^2+n^2}{b^2+n^2}=t\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bt\\a^2+n^2=t\left(b^2+n^2\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow b^2t^2+n^2=b^2t+n^2t\)
\(\Leftrightarrow b^2\left(t^2-t\right)=n^2\left(t-1\right)\)
Nếu \(t=1\)thì: \(a=b\Rightarrow ab=a^2\)là số chính phương.
Nếu \(t\ne1\)thì: \(t=\frac{n^2}{b^2}\)
Khi đó \(a=b.\frac{n^2}{b^2}\Leftrightarrow ab=n^2\)là số chính phương.
b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1
cho b=a+1
\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)
\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)
vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)
Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k! ^_^ *_*
Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)\(\left(k\inℤ\right)\)
Giả sử k không là số chính phương
Cố định số nguyên dương k,sẽ tồn tại cặp (a,b) . Ta kí hiệu
\(S=\left(\left(a,b\right)\in N\times N|\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\right)\)
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc S tồn tại (a,b) sao cho a+b đạt min
Giả sử \(a\ge b>0\)cố định b ta còn số nữa khác a theo phương trình \(k=\frac{x+b^2}{xb+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2-kbx+b^2-k=0\)phương trình có nghiệm a
Theo \(VIET:\hept{\begin{cases}a+x_2=kb\\a.x_2=b^2-k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x_2=kb-a=\frac{b^2-k}{a}\)
Dễ thấy x2 nguyên
Nếu x2<0 thì \(x_2^2-kbx_2+b^2-k\ge x^2_2+k+b^2-k>0\)(vô lí) \(\Rightarrow x_2\ge0\)do đó \(\left(x_2,b\right)\in S\)
Do \(a\ge b>0\Rightarrow x_2=\frac{b^2-k}{a}< \frac{a^2-k}{a}< a\)
\(\Rightarrow x_2+b< a+b\)(trái với a+b đạt min)
=> k là số chính phương (đpcm)
Xong rồi đấy,bạn tinck cho mình với nhé
Cậu chỉ cần đổi đề bài thành tìm a,b sao cho A là số nguyên là được.
Link chứng minh điều đó ở đây
https://diendantoanhoc.net/topic/71455-cho-ab-nguyen-d%C6%B0%C6%A1ng-ch%E1%BB%A9ng-minh-afraca2b2ab1-la-s%E1%BB%91-chinh-ph%C6%B0%C6%A1ng-n%E1%BA%BFu-a-nguyen/
Gắt vậy :) IMO 1988 :) vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh 
Cho a,b là các số nguyên dương và A =\(\frac{a^2+b^2}{ab+1}\)là số nguyên .cmr A là số chính phương.
Gỉa sử ab+1=n2 (n thuộc N)
Cho c=a+b+2n.Ta có:
* ac+1=a(a+b+2n)+1
=a2+2na+ab+1=a2+2na+n2=(a+n)2
* bc +1=b(a+b+2n)+1=b2+2nb+ab+1
=b2+2nb+n2=(b+n)2
Vậy ac+1 và bc+1 đều là số chính phương.
Số chính phương là số gì thế anh
anh noi thì em mới biết giải
wtf
số chính phương mà ko bt là j thì con cx lạy bố
bố ăn j mà thông minh thế
bố liệu có bt lm ko
kiến thức lớp 6