VM
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
4 tháng 10 2020
B1
Ta có
\(A=\frac{a^2}{24}+\frac{9}{a}+\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{24}.\frac{9}{a}.\frac{9}{a}+\frac{23a^2}{24}}\ge\frac{9}{2}+\frac{23.36}{24}\ge39\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=6
Vậy Min A = 39 <=> a=6
KN
4 tháng 10 2020
\(A=a^2+\frac{18}{a}=a^2+\frac{216}{a}+\frac{216}{a}-\frac{414}{a}\ge3\sqrt[3]{a^2.\frac{216}{a}.\frac{216}{a}}-69=39\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 6
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
TN
8 tháng 2 2017
mk làm r` đây nhé Câu hỏi của Lê Chí Cường - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
9 tháng 8 2021
ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)
Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)
Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)
7 tháng 5 2020
Xét \(\left(a^2+\frac{1}{b+c}\right)\left(4^2+1^2\right)\ge\left(4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2+\frac{1}{b+c}}\ge\frac{4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}}}{\sqrt{17}}\)
Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b^2+\frac{1}{c+a}}\ge\frac{4b+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\\\sqrt{c^2+\frac{1}{a+b}}\ge\frac{4c+\frac{1}{\sqrt{a+b}}}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right.\)
=> A \(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)+\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}}{\sqrt{17}}\)
Có \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}=\frac{4}{4.\sqrt{a+b}}\)
Mà \(\sqrt{\left(a+b\right).4}\le\frac{a+b+4}{2}\) => \(4\sqrt{a+b}\le a+b+4\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}\ge\frac{4}{a+b+4}\)
Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{b+c}}\ge\frac{4}{b+c+4}\\\frac{1}{\sqrt{c+a}}\ge\frac{4}{c+a+4}\end{matrix}\right.\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\) \(\ge4.\left(\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}+\frac{1}{a+b+4}\right)\)
\(\ge4.\frac{9}{2a+2b+2c+12}=\frac{3}{2}\)
=> \(A\ge\frac{4.6+\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}=\frac{3.\sqrt{17}}{2}\)
2 tháng 1 2019
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a+ab^2-ab^2}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)
Áp dụng bđt Cô-si ta có: \(1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
C/m tương tự \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên lại ta đc
\(VT\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
Ta có bđt: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1) với x , y , z dương
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Áp dụng bđt (1) ta đc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó: \(VT\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> a = b = c = 1
Vậy .............
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).
Vậy \(minS=2\).
\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Lại có : \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( AM-GM )
\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Vậy MinS = 2