Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+2\sqrt{abc}=1-b-c\\b+2\sqrt{abc}=1-a-c\\c+2\sqrt{abc}=1-a-b\end{cases}}\)
\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{a\left(1-b-c+bc\right)}+\sqrt{b\left(1-a-c+ac\right)}+\sqrt{c\left(1-a-b+ab\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{a\left(a+2\sqrt{abc}+bc\right)}+\sqrt{b\left(b+2\sqrt{abc}+ac\right)}+\sqrt{c\left(c+2\sqrt{abc}+ab\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{\left(a^2+2a\sqrt{abc}+abc\right)}+\sqrt{\left(b^2+2b\sqrt{abc}+abc\right)}+\sqrt{\left(c^2+2c\sqrt{abc}+abc\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{\left(a+\sqrt{abc}\right)^2}+\sqrt{\left(b+\sqrt{abc}\right)^2}+\sqrt{\left(c+\sqrt{abc}\right)^2}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=a+\sqrt{abc}+b+\sqrt{abc}+c+\sqrt{abc}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=a+b+c+2\sqrt{abc}+2015\)
\(A=1+2015=2016\)
Vậy:....
Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{bc+a^2+ab+ac}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si ngược ta có
\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
C/m tương tự được \(\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)
\(\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng 3 vế của các bđt trên lại ta được
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=abc\\a=b=c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a^3\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3-3a=0\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-3\right)=0\\a=b=c\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\left(a,b,c>0\right)\)
Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
Ta có\(ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=1\)
Thay 1=ab+bc+ca vào, ta có
\(a\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=a\left(b+c\right)\)
Tương tự rồi cộng lại, ta có
A=2(ab+bc+ca)=2
^_^
Lời giải:
Từ ĐKĐB suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:
\((a,b,c)=\left(\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}; \frac{y^2}{(y+z)(y+x)}; \frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)
(lưu ý cách đặt ẩn phụ như thế này rất hữu ích trong các bài BĐT có điều kiện như trên)
Khi đó:
\(a(1-b)(1-c)=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\left(1-\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}\right)\left(1-\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)
\(=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}.\frac{xy+yz+xz}{(y+z)(y+x)}.\frac{xy+yz+xz}{(z+x)(z+y)}=\left(\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(1-b)(1-c)}=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Tương tự như vậy với các phân thức tương ứng còn lại.
\(\sqrt{abc}=\sqrt{\frac{x^2.y^2z^2}{((x+y)(y+z)(z+x))^2}}=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Do đó:
\(A=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{y(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{z(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017\)
\(A=\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=1+2017=2018\)
Cho e hỏi tí ạ ! Ta có thể dùng cách đặt ẩn này cho những trường hợp nào nữa ? Căn cứ để đặt ẩn ạ !