Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{\left(2+a\right)\left(1+2b\right)+\left(1-2b\right)\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)\left(1+2b\right)}=\frac{2a+2b+3}{\left(1+a\right)\left(1+2b\right)}.\)
Ta có: \(\left(2+2a\right)\left(1+2b\right)\le\frac{\left(2+2a+1+2b\right)^2}{4}=\frac{\left(2a+2b+3\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+2b\right)\le\frac{\left(2a+2b+3\right)^2}{8}.\)
\(\Rightarrow\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{2a+2b+3}{\left(1+a\right) \left(1+2b\right)}\ge\frac{2a+2b+3}{\frac{\left(2a+2b+3\right)^2}{8}}=\frac{8}{2a+2b+3}\ge\frac{8}{2.2+3}=\frac{8}{7}.\)
Đặt \(b=xa;c=ya\Rightarrow a^2+2x^2a^2\le3y^2a^2\Leftrightarrow1+2x^2\le3y^2\)
Ta cần chứng minh:\(\frac{1}{a}+\frac{2}{xa}\ge\frac{3}{ya}\Leftrightarrow1+\frac{2}{x}\ge\frac{3}{y}\)
Vậy ta viết được bài toán thành dạng đơn giản hơn:
Cho x, y > 0 thỏa mãn \(1+2x^2\le3y^2\). Chứng minh:\(1+\frac{2}{x}\ge\frac{3}{y}\)
Tối về em suy nghĩ tiếp ạ!
ta có \(\frac{2+a}{1+b}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{1+a+1}{1+a}+\frac{2-\left(1+2b\right)}{1+2b}=\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}\)
sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwwarz ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{\frac{1}{2}+b}\ge\frac{4}{1+a+\frac{1}{2}+b}\ge\frac{4}{1+\frac{1}{2}+2}=\frac{8}{7}\)do a+b =<2
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\1+a=\frac{1}{2}+b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{4}\\b=\frac{5}{4}\end{cases}}}\)