Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1/
\(\hept{\begin{cases}4xy=5\left(x+y\right)\\6yz=7\left(y+z\right)\\8zx=9\left(z+x\right)\end{cases}}\)
Dễ thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của hệ
Xét \(x,y,z\ne0\) thì ta có hệ
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{4}{5}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{6}{7}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{9}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{131}{315}\\\frac{1}{y}=\frac{121}{315}\\\frac{1}{z}=\frac{149}{315}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{315}{131}\\y=\frac{315}{121}\\z=\frac{315}{149}\end{cases}}\)
PS: Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì các bạn khác sẽ bỏ qua đấy b. Mỗi lần đăng 1 câu thôi
Ta có \(a^4+ab^3=2a^3b^2\)
Do a>0
=> \(a^3+b^3=2a^2b^2\)
<=> \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)
Đặt \(\frac{a}{b^2}=x;\frac{b}{a^2}=y\)(x,y là số hữu tỉ)
=>\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x.y=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=2-y\\xy=\frac{1}{ab}\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}=\sqrt{1-y\left(2-y\right)}=\sqrt{y^2-2y+1}=|y-1|\)là số hữu tỉ
=> ĐPCM
Vậy \(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\)là số hữu tỉ
Vì \(x\ne0,y\ne0\) nên điều kiện đã cho tương đương với \(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}=2\Rightarrow\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}+\frac{2}{xy}=4\Leftrightarrow4\left(1-\frac{1}{xy}\right)=\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}-\frac{2}{xy}=\left(\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{1}{2}\left|\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right|\)
3)
Ta có : \(a^2+1=a^2+ab+bc+ca\)
\(=a.\left(a+b\right)+c.\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta có : \(b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Khi đó :
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) là một số hữu tỉ với a,b,c hữu tỉ.
Câu hỏi của Trần Đức Tuấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Vì ab+bc+ca=1
\(\Rightarrow a^2+1\)
\(=a^2+ab+bc+ca\)
\(=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)\)
\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta được \(\begin{cases}b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\\c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)
\(=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)
Mặt khác a;b;c là số hữa tỉ
\(\Rightarrow\begin{cases}a+b\\b+c\\c+a\end{cases}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) là số hữu tỉ
=> đpcm
giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=m\) ( m là số hữu tỉ )
\(\Rightarrow\sqrt{2}=m^2-1\)nên \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ ( vô lí )
vậy ...
b) giả sử \(m+\frac{\sqrt{3}}{n}=a\)( a là số hữu tỉ ) thì \(\frac{\sqrt{3}}{n}=a-m\Rightarrow\sqrt{3}=n\left(a-m\right)\)nên là số hữu tỉ ( vô lí )
vậy ....
\(a^3+b^3=2a^2b^2\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b^2}=x\\\frac{b}{a^2}=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x;y\in Q\)
Ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=\frac{1}{ab}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Theo Viet đảo, x và y là nghiệm:
\(t^2-2t+\frac{1}{ab}=0\)
\(\Delta'=1-\frac{1}{ab}\)
Do x;y hữu tỉ \(\Leftrightarrow\sqrt{\Delta'}\) hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\) hữu tỉ