Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(x,y\inℤ^+\) nên \(x,y\ge1\)
\(2^x+1=3^y\).Dễ thấy \(x\le y\).Đặt \(y=x+m\left(m\ge0\right)\) và \(m=y-x\)
Ta có: \(2^x+1=3^{x+m}\)
+Với \(x=y=1\Rightarrow2^1+1=3^{1+0}\left(TM\right)\)
+Với \(1\le x< y\Rightarrow3\le2^x+1< 2^y+1< 3^y\left(KTM\right)\)
Vậy \(x=y=1\) (p/s: không chắc cho lắm,tui mới học lớp 7 thoy)
+) a2+b2+c2\(\ge\)3
Đặt a-1 =x , b-1 =y,c-1=z
\(\Rightarrow\)x,y,z \(\in\)[-1;1] và x+y+z=0
pttt: (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)....\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+2(x+y+z)+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2+3\(\ge\)3
\(\Leftrightarrow\)x2+y2+z2\(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x,y,z)
+)a2+b2+c2\(\le\)5
Ta có a,b,c\(\in\)[0;2]\(\Rightarrow\)2-a\(\ge\)0 , 2-b\(\ge\)0 , 2-c\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)(2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2ab+2ac+2bc\(\ge\)4(a+b+c)+abc-8
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)12 + abc -8=4+abc (vì a+b+c=3)
Mà 4+abc\(\ge\)4 (vì a,b,c\(\in\)[0;2])
\(\Leftrightarrow\)2(ab+bc+ac)\(\ge\)4
\(\Leftrightarrow\)(a+b+c)2\(\ge\)4 +a2+b2+c2
mà a+b+c=3
\(\Leftrightarrow\)a2+b2+c2\(\le\)33-4=5
Dấu '=' xảy ra khi (a,b,c)=(0,1,2)và hoán vị vòng quanh
Vậy bdt được cm
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
Hướng dẫn:
\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{b^3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{c^3}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{3c^2}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\) (Cauchy cho 3 số không âm )
=> \(3\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{2}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le3\).
Dấu "=" <=> a=b=c
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\le3\)
=> \(a+b+c\le3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
Trước hết với x; y dương ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Thật vậy, \(\) \(x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\a^3+c^3\ge ac\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)
Mặt khác:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+ab\left(a+b\right)+ac\left(a+c\right)+bc\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le a^3+b^3+c^3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a^3+b^3+c^3\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)