Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(a-b)^2>=0
<=>a^2+b^2>=2ab
<=>(a+b)^2>=4ab
<=>a+b>=2Căn(ab)
Cmtt:b+c,c+a
rùi + vào
áp dung bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\sqrt{\frac{a.b}{4}}=2.\frac{\sqrt{a.b}}{2}=\sqrt{a.b}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{a.b}\)
(a-b)2>=0 voi moi a,b
=>a2+b2>=2ab voi moi a,b
=>a2+2ab+b2>=4ab voi moi a,b
=>(a+b)2>=2.(can ab) voi moi a,b>=0
=>a+b/2>=(can ab) voi moi a,b>=0
Bài toán này sai đề. Ví dụ chọn \(a-c=b=2,c=1\) thì vế trái bằng \(\sqrt{6}+1\), vế phải là \(\sqrt{6}\).
áp dụng BĐT Cô - si ta được:
\(a+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}\)(1)
\(b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{b}\)(2)
Công hai vế (1) và (2) ta được:
\(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(điều phải chứng minh)
Dấu"=" xảy ra khi a=b
a) \(\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+2\sqrt{a}+1>a+1\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{a}>0\)( luôn đúng \(\forall x>0\) )
b) \(a-1< a\)\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{a-1}< \sqrt{a}\)
c) \(\left(\sqrt{6}-1\right)^2=6-2\sqrt{6}+1>3-2\sqrt{3.2}+2=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2\)
do \(\sqrt{6}-1>0;\sqrt{3}-\sqrt{2}>0\) nên \(\sqrt{6}-1>\sqrt{3}-\sqrt{2}\) ( đpcm )
Ta có:
\(\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}+2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)}\)
\(=2\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)}\)
Tương tự, ta cũng được \(\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2\left(a-\sqrt{a^2-b}\right)}\)
cách 1:
áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{a.b}\)(1)
\(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{c}{2}}=\sqrt{b.c}\)(2)
\(\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\frac{a}{2}}=\sqrt{c.a}\)(3)
cộng 2 vế (1);(2) và (3) ta được:
\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)(điều phải chứng minh)