Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a+b+c=0 nên
\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+c^5-a-b-c\)
= \(a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)
Lại có :
\(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
Vì : \(a\left(a+1\right)\) là tích của 2 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)là tích của 3 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3
\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)là tích của 5 số thực liên tiếp nên chia hết cho 5
Mà (2,3,5) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)chia hết cho 2.3.5=30
Suy ra \(a^5-a\) chia hết cho 30
Cmtt ta được \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 30
Suy ra \(a^5+b^5+c^5-a-b-c\) chia hết cho 30 hay
\(a^5+b^5+c^5\) chia hết cho 30 khi a+b+c = 0
Ta có:
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b+10a^2b^3+5ab^4+b^5=-c^5\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a^3+b^3+2a^2b+2ab^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a^3+b^3\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+2ab\left(a+b\right)\right]\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=5ab\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5=-5abc\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Câu hỏi của trần thị bảo trân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi trên là c/m \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Vậy thì suy ra được \(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)
Mấy câu còn lại tương tự
Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)
\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)
Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)
Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)
Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)
Câu hỏi của ta là ai - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
a) \(a,b>0\Rightarrow a^3-b^3< a^3+b^3\)
Mà \(a^3+b^3=a-b\)
\(\Rightarrow a^3-b^3< a-b\)
\(\Rightarrow\frac{a^3-b^3}{a-b}< 1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}< 1\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+b^2< 1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2< 0\)(Vì a,b > 0)
b) Câu hỏi của ta là ai - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có a+b+c=0 sẽ chia hết cho 30
Và 30=2*3*5
Lại có \(a^2\equiv a\) (mod2) =>\(a^4\equiv a^2\equiv a\) (mod 2)
\(\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\) (mod 2)
\(b^3\equiv b\) (mod 3) \(\Rightarrow b^5\equiv b^3=b\) (mod 3)
\(c^5\equiv c\) (mod 5)
Suy ra : \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\) (mod 2.3.5)
Vậy \(a^5+b^5+c^5\) sẽ chia hết cho 30
mơn bạn rất rất nhiều mặc dù mk chẳng hiểu cái qué j^^! Dù sao mk cx cm ơn nha!