Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này ta sẽ phải vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương là chính: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=\left(2bc\right)^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\)
\(=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right).\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a^2+2bc-b^2-c^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)=\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right].\left[\left(b^2+2bc+c^2\right)-a^2\right]\)
\(=\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right].\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:
+a+c > b => a+c-b > 0
+b+c > a=>b+c-a > 0
+a+b+c và b+c+a hiển hiên đều lớn hơn 0
Nên \(\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)>0\)
\(=>4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2>0\left(đpcm\right)\)
Giả sử c không là độ dài cạnh nhỏ nhất, không mất tính tổng quát, giả sử : \(c\ge a\)
\(\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow b^2>4c^2=\left(2c\right)^2\)(1)
Vì b và c là số dương (độ dài các cạnh) nên \(\left(1\right)\Leftrightarrow b>2c\ge c+a\)(trái với bđt tam giác)
Vậy điều giả sử là sai nên c là độ dài cạnh nhỏ nhất (đpcm)
Bạn xem lại đề nhé!
Mình chứng minh lỗi sai của bạn:
a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác vuông với c là cạnh huyền
=> \(a^2+b^2=c^2\Leftrightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1\)
Mà \(a< c;b< c\Rightarrow\frac{a}{c}< 1;\frac{b}{c}< 1\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{a}{c}\right)^2;\left(\frac{b}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{b}{c}\right)^2\)
=> \(\left(\frac{a}{c}\right)^{2020}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2020}< \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1\)
=> \(a^{2020}+b^{2020}< c^{2020}\)
Bạn vẫn nên xem lại đề nha!