Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< ab+bc+ca+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
bài này ta sẽ phải vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương là chính: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=\left(2bc\right)^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\)
\(=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right).\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a^2+2bc-b^2-c^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)=\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right].\left[\left(b^2+2bc+c^2\right)-a^2\right]\)
\(=\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right].\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:
+a+c > b => a+c-b > 0
+b+c > a=>b+c-a > 0
+a+b+c và b+c+a hiển hiên đều lớn hơn 0
Nên \(\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)>0\)
\(=>4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2>0\left(đpcm\right)\)
Ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).
\(\left(b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).
\(\left(c+a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:
\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).
Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)
Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm
4 bài toàn là hình, lại khó, dài , mk nghĩ chắc ko ai tl giúp bn đâu, xl nha, ngay mk mới lp 6 cx chưa thể giải đc vì đã lp 7 đâu. ah hay là bn gửi tg bài 1 cho các bn ấy giải từ từ, cứ 1 đốg thì ai giải giúp bn đc. sorry nha
*In đậm: quan trọng.
nguyễn hồng quân đấy là phim hành động nhé chứ không phải phim hoạt hình nhé bạn !!!
Ai nhanh mình chọn!( Bài này chỉ để thử sức các bn, chứ mik biết lm rồi)
Áp dụng bất đăng thức tam giác vào tam giác đã cho ta được:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{cases}}\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=aa+bb+cc\)\(< a\left(c+b\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\)
\(=ac+ab+ab+bc+ac+bc\)
\(=2ab+2ac+2bc\)
\(=2\left(ab+ac+bc\right)\) (đpcm)