K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 3 2019

Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá, thanks bn nhìu :>>>

2 tháng 3 2019

Nguyễn Việt Lâm DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Mysterious Person help

NV
2 tháng 3 2019

Do \(a,b,c>\dfrac{25}{4}\Rightarrow\) các mẫu số đều dương

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)

\(\Rightarrow M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{5^3.abc}{5\left(2\sqrt{b}-5\right).5\left(2\sqrt{c}-5\right).5\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}5\left(2\sqrt{a}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{a}-5\right)^2}{4}=a\\5\left(2\sqrt{b}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{b}-5\right)^2}{4}=b\\5\left(2\sqrt{c}-5\right)\le\dfrac{\left(5+2\sqrt{c}-5\right)^2}{4}=c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\ge3\sqrt[3]{\dfrac{5^3.abc}{abc}}=3.5=15\)

\(\Rightarrow M_{min}=15\) khi \(a=b=c=25\)

NV
2 tháng 3 2019

Bạn áp dụng BĐT \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y

Hơn nữa, cũng áp dụng để tìm dấu "=" cuối bài, ta có \(5=2\sqrt{a}-5\Rightarrow2\sqrt{a}=10\Rightarrow a=25\), đó là lý do tại sao biết đẳng thức xảy ra tại a=b=c=25

2 tháng 3 2019

Cho a, b, c > 25/4, tìm GTNN của biểu thức: M=\(\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 9 2017

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)

\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)

\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)

Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)

\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)

Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)

Bài 6:

\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)

\(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:

\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 9 2017

Bài 3:

Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)

hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)

Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:

\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài 4:

Ta có:

\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)

\(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).

Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Bài 2:

a: \(A=\left(5+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}-\dfrac{3\sqrt{5}\left(3-\sqrt{5}\right)}{4}\)

\(=-5+3\sqrt{5}+\dfrac{5+\sqrt{5}-9\sqrt{5}+15}{4}\)

\(=-5+3\sqrt{5}+5-2\sqrt{5}=\sqrt{5}\)

b: \(B=\left(\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}\right):\dfrac{x+3\sqrt{x}-2\left(\sqrt{x}+3\right)+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+3\sqrt{x}+6-2\sqrt{x}-6}=1\)

13 tháng 7 2017

2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)

\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)

vậy...................

13 tháng 7 2017

Câu 1:

\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{4+5}=3\)

\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)

a: \(=\sqrt{\left(2-a\right)^2\cdot\dfrac{2a}{a-2}}=\sqrt{2a\left(a-2\right)}\)

b: \(=\sqrt{\left(x-5\right)^2\cdot\dfrac{x}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(x-5\right)\cdot\dfrac{x}{x+5}}\)

c: \(=\sqrt{\left(a-b\right)^2\cdot\dfrac{3a}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}}=\sqrt{\dfrac{3a\left(b-a\right)}{b+a}}\)