Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.20\)
\(\Rightarrow S\ge13\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2, b = 3, c = 4
Vậy minS = 13 tại (a,b,c) = (2,3,4)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\). (*)
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x, y > 0 ta có:
\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}\le a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\).
Do đó (*) đúng.
Suy ra: \(A\ge80\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-17\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=63\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (bất đẳng thức Nesbitt) ta có \(A\ge\frac{189}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Vậy Min A = \(\frac{189}{2}\) khi a = b = c.
áp dụng AM-GM T a có
\(S=a+b+c+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a+b+c+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow s\ge a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{3}{21}+\frac{9}{1}.\frac{21}{3}=\frac{442}{7}\)
\(S_{min}=\frac{442}{7}\)khi a=b=c=1/21
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{c}{ab}.\frac{a}{bc}}=\frac{1}{b}\)
cộng vế với vế ta được \(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=>\(A=\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
Vậy minA=3/2 khi a=b=c=2